Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

Из 100 ребят, отправляющихся в многопредметную школу, занимаются математикой 30 ребят, физикой — 28, химией — 42. Математикой и физикой занимаются 8 ребят, математикой и химией — 10, физикой и химией — 5, а всеми тремя предметами — 3. Ребята, которые не занимаются ни математикой, ни физикой, ни химией, являются биологами. Сколько биологов приехало в многопредметную школу?

Сколько существует целых чисел от 1 до 3000, которые не делятся ни на 2, ни на 3, но делятся на 5?

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитали и Гарри Поттер, и Рон. Не нашлось ни одной книги, которую бы читал и Рон, и Гермиона. Гермиона прочитала 7 книг, которые не читал Гарри Поттер, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг.

Сколько книг прочитал только Рон?

Известно, что в Майкопе каждый двадцатый пятиклассник пришел на Олимпиаду. А среди майкопских участников Олимпиады каждый пятнадцатый – пятиклассник. Кого в Майкопе больше: пятиклассников или участников олимпиады?

Сколько существует чисел от 1 до 60, которые не делятся ни на 2, ни на 3?

Художник Казимиров за месяц работы написал 42 картины. На 29 из них есть река, на 17 – лес, а на 13 – и то, и другое; на остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?

На доске нарисованы два пересекающихся круга, в которых отмечено несколько точек. Внутри первого круга отмечено 40 точек, внутри второго 30 точек, а 20 точек оказались внутри обоих кругов одновременно. Сколько точек всего было отмечено?

Тридцать детей пошли в кафе. Каждый из них выбрал мороженое, пирожное, или и то, и другое одновременно. Всего было продано 20 мороженых и 15 пирожных. Cколько детей ели только мороженое?

Каждая из 20 машинок - либо красная, либо быстрая, либо и красная, и быстрая. Красных машинок 13, быстрых - 11. Сколько машинок являются и красными, и быстрыми?

Пятиугольная звезда имеет 5 точек самопересечения. А какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая 7-звенная ломаная?

На плоскости нарисовали точку и k кругов, не содержащих точку. Оказалось, что любая прямая, проходящая через точку, пересекает хотя бы один из этих k кругов. При каком наименьшем k такое возможно?

Петя нарисовал сетку 3x4 (см. рис.) не проходя по линиям дважды. При этом он оторвал карандаш от бумаги k раз.

При каком наименьшем k это возможно?

Какое наибольшее количество неперекрывающихся плиток 1x3 можно уложить в квадрат 5x5 ?

Какое наименьшее количество отрезков придется дорисовать (см. рис.), чтобы полученную фигуру можно было нарисовать одним росчерком?

Каким наименьшим количеством прямых можно перечеркнуть все клетки клетчатого квадрата 3x3? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)

Контуры двух четырехугольников пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?

Отрезок пересекает контур четыреугольника (не обязательно выпуклого) в k точках. Каково наибольшее значение k?

Два контура треугольника пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?

Клетчатый квадрат n x n разрезали на трехклеточные уголки. При каком наименьшем n это возможно?

Можно ли одним росчерком (не отрывая карандаш от бумаги и не проходя по линиям дважды) нарисовать фигуру на рисунке?

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD взяли точку E. Сколько есть пятиугольников с вершинами A, B, C, D, E ?

Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество клеток может перечеркнуть одна прямая? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)

Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество неперекрывающихся доминошек 1x2 можно в нем разместить?

Отрезок пересекает контур треугольника в k точках. Каково наибольшее значение k?

Дана четверка чисел $(0, 0, 0, 0)$. За операцию к этой четверке прибавляется либо четверка $(3,5,6,2)$, либо четверка $(5,2,4,3)$. Через несколько шагов первые три числа оказались равны оказались равны 63, 67 и 90. Чему стало равно четвертое число?

Андрей, Борис, Валя и Галя каждый день ели конфеты. В какие-то дни Андрей съедал 3 конфеты, Борис – 5, Валя – 6, а Галя – 2. В оставшиеся дни Андрей съедал 5 конфет, Борис – две, Валя – 4, а Галя – 3. Через некоторое оказалось, что за всё это время Андрей съел 63 конфеты, Борис – 67, а Валя – 90 конфет. Сколько конфет к тому моменту съела Галя?

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(6,1,21)$, либо тройка $(4, 2, 18)$. Через несколько шагов первое и третье число в тройке оказались равны 46 и 189. Чему стало равно второе число?

Надя, Рита и Костя коллекционируют камни. В некоторые дни Надя находит 6 новых камней в свою коллекцию, Рита находит один, а Костя 21 камень. В остальные дни Надя находит 4 камня, Рита – 2, а Костя – 18. Через несколько дней оказалось, что Надина коллекция пополнилась на 46 камней, а Костина на 189 камней. Сколько новых камней нашла Рита?

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(1,3,2)$, либо тройка $(4, 2, 3)$. Через несколько шагов первое и второе число в тройке оказались равны 40 и 90. Чему стало равно третье число?

Даша, Маша и Саша собирали гербарий. В обычные дни Даша находила 1 новый кленовый лист, Маша – 3, а Саша – 2. Но в некоторые дни Даша находила 4 листа, Маша – 2, а Саша – 3. Через несколько дней оказалось, что у Маши в коллекции 40 листьев, у Даши – 90. Сколько листьев в гербарии у Саши?

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(1,3,2)$, либо тройка $(4, 2, 3)$. Через несколько шагов первое и второе число в тройке оказались равны 40 и 90. Чему стало равно третье число?

Даша, Маша и Саша собирали гербарий. В обычные дни Даша находила 1 новый кленовый лист, Маша – 3, а Саша – 2. Но в некоторые дни Даша находила 4 листа, Маша – 2, а Саша – 3. Через несколько дней оказалось, что у Маши в коллекции 40 листьев, у Даши – 90. Сколько листьев в гербарии у Саши?

*Заполните пропуски в решении задачи.*

_Решение._ Можно заметить, что в любой день Маша и Даша вместе собирают:
__ *а)* столько же листьев, сколько... *б)* вдвое больше листьев чем... *в)* вдвое меньше листьев чем Саша.
_Нужно ввести одну из букв – а, б или в._

Тогда и за все дни они вместе собрали вдвое больше листьев, чем Саша. Всего Маша и Даша собрали $40+90=130$ листьев, значит Саша собрал половину от этого количества, то есть __ листьев.

Дана тройка чисел $(40, 20, 50)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(40,30,70)$, либо тройка $(-35, -25, -60)$. Через несколько шагов первое и третье число в тройке оказались равны 70 и 130. Чему стало равно второе число?

У Оли было 40 рублей, у Лены – 20, а у Лёши – 50. Каждый день вечером мама выдаёт детям карманные деньги: Оле даёт Оле 40 рублей, Лене – 30,а Лёше –70. Иногда дети ходят в магазин и покупают сладости: Оля тратит 35 рублей, Лена – 25, а Лёша – 60. Через несколько дней оказалось, что у Оли есть 70 рублей, а у Леши – 130. Сколько тогда денег у Лены?