Выберите серию
В зоопарке слонов больше, чем львов. И среди львов, и среди слонов есть трусливые и смелые. Трусливых львов в 3 раза больше, чем смелых слонов. Трусливых слонов четверо. Сколько в зоопарке слонов и львов вместе?
Ответ:
Варианты ответов:
Обозначим за ТС, СС, ТЛ и СЛ количество трусливых слонов, смелых слонов, трусливых львов и смелых львов соответственно. Из условия ТС=4, ТС+СС>ТЛ+СЛ, ТЛ=3СС. Тогда 4+СС>3СС+СЛ, 4>2СС+СЛ. Так как CC>0 и СЛ>0, имеем СС=СЛ=1, ТЛ=3, ТС=4 по условию. Итого общее количество слонов и львов - 9.
В классе некоторые девочки умные, другие – красивые, а в некоторых оба качества совмещаются. Валера заметил, что даже если утроить количество умных и красивых девочек, их всё равно окажется меньше, чем девочек, обладающих ровно одним из предложенных качеств. А Илья сосчитал, что красивых девочек в два раза больше, чем умных. Красивых девочек меньше 16. Какое наибольшее количество девочек могут быть одновременно красивыми и умными?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть К – количество только красивых, У – только умных, а С (от «супер») –
количество красивых и умных девочек. Тогда:
3С < К + У, (1)
2(У + С) = К + С. (2)
Удвоим (1) и сложим с (2), тогда получим 6С + 2У + 2С < 2К + 2У + К + С, то есть 7С < 3К, откуда 2С < К или 3С < К + С. Поскольку К + С < 16 и их чётное количество (так как вдвое больше, чем У + С), то К + С не более 14, а тогда 3С < 14, откуда С не более 4.
Пример на 4 легко привести, имея в виду предыдущее рассуждение. Пусть красивых и умных девочек ровно 4, только красивых - 10, только умных - 3.
По результатам олимпиады по математике награждали 8 человек. Им подарили в сумме 84 книги. Известно, что все они заняли разные места, причем те, кто заняли место выше, получили и книг больше. Кроме того, ребята, занявшие 7-е и 8-е места, получили в сумме больше книг, чем победитель олимпиады (то есть занявший 1-е место). Сколько книг получил участник, занявший 8-е место?
Ответ:
Варианты ответов:
Докажем, что победитель не мог получить меньше 14 книг. В самом деле, если он получил $n$ книг, тогда 7-е и 8-е места получили не более $x-6$ и $x-7$ книг, а вместе - не более $2x-13$ книг. Но тогда $2x-13>x$, откуда $x>13$. Значит, победитель получил не менее 14 книг.
Если победитель получил 14 книг, то два последних места должны были получить 7 и 8 книг (иначе неравенство не будет выполняться), а тогда 2-е место получило 13 кг=ниг, 3-е - 12 книг, и т.д. Такой вариант возможен.
Если же у победителя не менее 15 книг, то у 7-го места не менее 9 книг, у 6-го - не менее 10 книг, и т.д. Но тогда все участники, кроме восьмого, уже получили не менее 9+10+11+12+!3+14+15=84 книги, т.е. восьмому не досталось ничего. Но тогда седьмой и восьмой вместе получили меньше книг, чем победитель.
Даша, Маша, Паша и Саша соревнуются в поедании бананов. На четверых они съели 70 штук, причем каждый хоть что-то съел. Паша съел больше, чем каждый из остальных. Даша и Маша съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Саша?
Ответ:
Варианты ответов:
По условию Саша съел не менее одного банана. Но если бы он съел хотя бы 2 банана, то Паше должно достаться не более 23 бананов. А тогда Даша и Маша съели не более 22 бананов каждая. Значит, вместе они съели не более 44 бананов, что противоречит условию.
Шесть карасей легче пяти щук, но тяжелее 10 лещей. Найдите высказывания, которые заведомо являются верными; высказывания, который заведомо неверны; высказывания, которые могут оказаться как верными, так и неверными. В качестве ответа напишите одну или несколько цифр без пробелов
1) Два карася тяжелее, чем три леща,
2) Один карась тяжелее, чем два леща,
3) Четыре карася легче трёх щук,
4) Семь карасей тяжелее 6 щук,
5) Шесть щук тяжелее 11 лещей.
Верные: __, неверные: __, высказывания с неопределённой истинностью: __
Ответ:
Варианты ответов:
Обозначим массы карася, щуки и леща за К, Щ и Л соответственно. Мы знаем, что 6К>10Л, т.е. К>5/3Л. Тогда 2К>10/3Л>9/3Л=3Л, откуда первое высказывание всегда истинно.
Второе высказывание может быть как истинно (например, если один карась по весу равен трём лещам), так и ложным (например, если карась весит 11/6 леща).
Также мы имеем 6К<5Щ (т.е. К<5/6Щ), откуда 4К<10/3Щ. Третье высказывание может быть как ложным (например, если 4К=19/6Щ), так и истинным (например, если Щ=2К).
Также имеем 7K<35/6Щ<6Щ, поэтому 4 высказывание ложно всегда.
Если мы сравниваем массы щуки и леща, то мы имеем неравенства 10Л<6К<5Щ, откуда 10Л< 5Щ и 2Л<Щ. Тогда 6Щ>12Л>11Л.