Выберите серию
В каждой клетке квадрата $3\times 3$ написана цифра от 1 до 9. Цифры не повторяются. Сколько существует таких квадратов? Варианты, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Здесь нужен точный ответ без знака факториала.
Ответ:
Варианты ответов:
Ответ: 9!
Решение. Пронумеруем все девять клеток числами от 1 до 9 (всё равно как). В первую клетку можно положить любую из девяти конфет (итого 9 способов). Во вторую --- любую из оставшихся восьми конфет (8 способов). В третью --- любую из оставшихся семи конфет (7 способов), и т.д. Эти способы необходимо перемножить. Получается 9!
Васе подарили на день рождения коробку с 9 разными конфетами, уложенными в виде квадрата 3 на 3. Он высыпал их из коробки, но мама попросила сложить обратно. Сколько вариантов вернуть конфеты обратно в коробку? Варианты, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными.
На дискотеку пришли 15 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами из них можно сформировать 14 пар для танцев, если в каждой паре должны быть мальчик и девочка?
Ответ:
Варианты ответов:
Пронумеруем гостей. Первому гостю можно дать любой из 15 кексов. Второму --- любой из 14 оставшихся, третьему --- любой из 13 оставшихся, и т.д. Последний кекс никому из гостей не достанется (возможно, Вася его съест сам). Перемножая полученные числа, находим ответ 15*14*...*3*2=15!
На день рождения к Васе пришло 14 гостей, а Вася испёк для них 15 разных кексиков. Сколькими способами Вася может угостить своих гостей, дав каждому по одному кексу?
На дискотеку пришло 15 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для танцев, если в каждой паре должны быть мальчик и девочка?
Ответ:
Варианты ответов:
Рассадим всех девочек за 15 пронумерованных столов.
Мальчик может подойти к любой из 15 девочек. Первый сможет это сделать 15 разными способами. второй - 14, третий -13 и так далее.
Получим все возможные расстановки.
$15\cdot14\cdot 13\cdot...\cdot 1=15!$
В честь своего дня рождения Вася хочет испечь кексики для гостей. Он приготовил 15 видов теста и взял 15 различных силиконовых формочек для него. Сколько способов у Васи испечь 15 кексов, если все кексы должны быть разной формы и из разных видов теста?
Сколькими способами можно расставить на доске $8 \times8$ восемь ладей так, чтобы никакие две ладьи не стояли на одной горизонтали или на одной вертикали?
Ответ:
Варианты ответов:
Решение 1. Заметим, что в каждой строке и в каждом столбце должно стоять по одной тарелке. Пронумеруем горизонтали. На первую горизонталь можно поставить тарелку в любую клетку. На вторую нельзя ставить тарелку в ту вертикаль, в которой уже стоит первая тарелка (итого семь разрешённых мест). На третьей горизонтали получается 6 разрешённых мест (две вертикали уже заняты поставленными тарелками), и т.д. Перемножая эти числа, получаем 8! способов.
Решение 2. Первую тарелку можно поставить на любую из 64 клеток. Вторую нельзя ставить на горизонталь или на вертикаль, на которых уже стоит первая тарелка --- остаётся 49 клеток. Третью тарелку можно поставить 36 способами, и т.д. Перемножая эти числа, получим 64*49*36*25*16*9*4*1=(8!)^2 способов. Но это верно, только если тарелки пронумерованы. Если такой нумерации нет и тарелки считаются одинаковыми, то каждый способ сосчитан столько раз, сколькими способами можно пронумеровать 8 тарелок. А это 8! способов. Итого получаем ответ: (8!)^2/8!=8! способов.
Пока папа готовит плов, Вася пытается расставить на доске $8\times 8$ восемь ладей так, чтобы никакие две ладьи не стояли на одной горизонтали или на одной вертикали. Сколькими способами он может это сделать?
Сколькими способами 15 учеников могут выстроиться в очередь в столовую?
Ответ:
Варианты ответов:
Первым в очереди может стоять любой из 15 детей. Вторым --- любой из 14 оставшихся детей, третьим --- любой из 14 оставшихся, и т.д. Перемножив эти варианты, получим 15!
Сколькими способами 15 детей могут выстроиться в очередь за кексиками в день рождения Васи?