Выберите серию
Имеются красные и синие бусинки.Составляется круговое ожерелье из 22 бусинок. Оно называется счастливым, если в нем нет двух красных бусинок, между которыми ровно одна (любая) бусинка. Какое наибольшее количество красных бусинок может быть в счастливом ожерелье?
Ответ:
Варианты ответов:
Рассмотрим 11 бусинок на четных позициях, они образуют "разреженное" круговое ожерелье. Для них получается условие: нет двух соседних красных бусинок. Тогда среди них красных не более 5. Аналогично, среди бусинок на нечетных позициых не более 5 красных. Пример на 10 красных бусинок: ССККССККССККССККССККСС (по кругу).
Катя выписывает k натуральных чисел, каждое из которых является делителем числа $6^4$. При каком наименьшем k среди этих делителей наверняка найдутся два числа, одно из которых делится на другое?
Ответ:
Варианты ответов:
Каждый делитель имеет вид: произведение степени тройки $3^k$ (где k - одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4) на степень двойки. Среди шести делителей найдутся два числа с одним и тем же k. Тогда одно из этих чисел делится на другое. С другой стороны, есть пример, показывающий, что k=5 не работает: $2^4$, $2^3\cdot 3$, $2^2\cdot 3^2$, $2\cdot 3^3$, $3^4$,
Какое наибольшее количество натуральных чисел можно взять, чтоб ни для каких двух из этих чисел ни их сумма, ни их разность не делилась на 10?
Ответ:
Варианты ответов:
Разобьем числа на 6 групп: имеющих последнюю цифру 0, последнюю цифру 1 или 9, последнюю цифру 2 или 8, последнюю цифру 3 или 7, последнюю цифру 4 или 6, последнюю цифру 5. Если чисел хотя бы 7, то какие-то два числа попадут в одну группу, а значит, их сумма или их разность имеет последнюю цифру 0, т.е. делится на 10. С другой стороны, есть пример, показывающий, что 6 чисел взять можно: 1, 2, 3, 4, 5, 10.
На квадратном столе 1 м на 1 м разбрасывают 999 квадратных бумажных салфеток размером 10 см на 10 см. При каком наибольшем $k$ верно такое утверждение: всегда можно воткнуть в стол булавку, протыкающую не менее k салфеток? (Каждая салфетка полностью лежит на столе. Если булавку воткнуть в границу салфетки, то она не протыкает салфетку.)
Ответ:
Варианты ответов:
Суммарная площадь салфеток больше 9S, где S - площадь стола, поэтому над какой-то точкой стола не менее 10 слоев салфеток - в эту точку и можно воткнуть булавку. С другой стороны, поверхность стола можно уложить 100 салфетками в один слой, и значит 1000 салфетками - в 10 слоев (одну из 1000 можно будет убрать). Этот пример показывает. что k>10 не всегда работает.
Группа из 9 друзей на завтраке сели за 2 стола. На обеде те же 9 друзей сели за 2 стола, в каком-то другом порядке. При каком наибольшем m точно найдутся m друзей, которые сидели за одним столом как на завтраке, так и на обеде?
Ответ:
Варианты ответов:
За завтраком найдем 5 друзей, сидящих за одним столом. Будем следить за рассадкой этих 5 друзей за обедом: какие-то трое обязательно за одним столом. С другой стороны, рассмотрим такой пример: пусть друзья садились так (первая цифра - номер стола за завтраком, вторая цифра - за обедом): 11, 11, 12, 12, 21, 21, 22, 22, 22. В этом примере нет 4 друзей, которые бы сидели за одним столом как на завтраке, так и на обеде.