Выберите серию
Вставьте пропуски в решении задачи
<<Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО>>.
Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.
Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).
Следовательно, ответ: __ способов.
Ответ:
Варианты ответов:
Вставьте пропуски в решении задачи
*"Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО"*.
– Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.
– Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).
– Следовательно, ответ: __ способов.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ЛИНИЯ>>? (Оставить буквы в том же порядке также считается перестановкой, но две буквы И неразличимы.)
Ответ:
Варианты ответов:
Предположим сначала, что в слове <<ЛИНИЯ>> пять различных букв (пусть первая и вторая буквы И чем-нибудь различаются - например, по-разному написаны). На первое место можно поставить любую из пяти имеющихся букв, на второе - любую из четырёх оставшихся, и т.д. Эти варианты необходимо перемножить (потому что на каждый способ поставить букву на первое место найдётся четыре способа поставить букву на второе место, и т.д.) Получится 120 способов.
Теперь вспомним, что две буквы И у нас одинаковые. Это значит, что каждый способ мы сосчитали дважды (две буквы И можно поменять местами, а можно оставить как были). Это значит, что ответ в задаче в два раза меньше только что сосчитанного, т.е. 60.
Тут как раз появляется понимание
Если бы слово было такое -- ЛИНиЯ, то буквы все различны, и вариантов перестановок 5!. НО, т.к. буквы И / и по сути неразличимы, то будут повторяющиеся перестановки.
А как избавиться от повторов? Две одинаковые буквы можно преставить 2! способами,
ЛИНиЯ = ЛиНИЯ, следовательно всего различных вариантов будет 5! / 2! = 120 / 2 = 60.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ПАРУС>>? (Исходный вариант расстановки букв также считается перестановкой.)
Ответ:
Варианты ответов:
В слове <<Парус>> всего пять букв. На первое место можно поставить любую из пяти букв. На второе место можно поставить любую из оставшихся четырёх букв. Так как на каждый из пяти вариантов поставить букву на первое место есть четыре варианта поставить какую-то букву на второе место, то эти числа нужно перемножить. Аналогично на третье место можно поставить любую из трёх оставшихся букв, на четвёртое - любую из двух оставшихся, и наконец, на пятое место ставится неиспользованная буква. Итого $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ способов.
Несмотря на то, что пока в решении отсутствует слово "РАЗЛИЧНЫЕ" ( буквы в слове парус), -- важно обратить внимание на это.И
Имеет смысл начать с еще более коротких слов.
Обратить внимание на то, что формулировка такой заждачи может быть видоизменена (сколько слов длины исходного слова можно составить...), а в текущем виде со словом "перестановка" -- по сути, подсказка.
Две круглые беговые дорожки имеют длину 3300 м каждая и пересекаются в одной точке. В этой точке стоит мужик. Скорость бега мужика по одной дорожке – 300 м/мин, а по второй – 220 м/мин. На каком минимальном расстоянии (считая по дороге) от исходной точки окажется мужик через 1 ч 20 мин после старта, если он начнет непрерывно бегать по дорожкам, не разворачиваясь? Ответ дайте в метрах.
Ответ:
Варианты ответов:
Один круг мужик пробегает за 11 минут, второй –– за 15 минут. 80 не набрать слагаемыми 11 и 15, значит, расстояние будет ненулевое. С другой стороны, меньше, чем на минуту бега от старта мужик оказаться не может (потому что время прохождения каждого круга –– целое число минут). Таким образом, искомое расстояние не меньше 220 метров. Пример, когда оно достигается: сначала пробежать 6 раз первый круг, на это уйдёт 66 минут, затем оставшиеся 14 бежать по второму.
В разные моменты времени из пунктов А и В, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, находящейся на расстоянии 4 км от А, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D, которая находится в 7 км от А. Развернувшись, они вновь поехали к своим пунктам. И т.д. На каком расстоянии от А произойдет их 2025 встреча? Ответ дайте в километрах.
Ответ:
Варианты ответов:
Докажем, что все нечётные встречи будут происходить в точке C, а все чётные - в точке D. Пусть велосипедист потратил время $t$ на то, чтобы доехать из С в А, развернуться и доехать до D. Но мотоциклист потратил то же самое время (раз они встретились), чтобы доехать из С в В, развернуться и добраться до D! Ровно то же время потребуется велосипедисту, чтобы добраться от D до А и от А до С (это тот же путь). И мотоциклисту, чтобы добраться от D до B, развернуться и доехать до C. Следовательно, следующая после D встреча будет в точке С.
Отсюда получим, что 2025 всреча будет в точке С, т.е. в 3 км от А.