Выберите серию
Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.
Ответ:
Варианты ответов:
Представим, что все числа различны. Тогда всего есть 7!=5020 способов расставить цифры (на первое место можем поставить любую из семи цифр, на второе - любую из шести оставшихся, и т.д.)
Теперь уберём разницу между двумя единицами (а двойки всё ещё будут различными). Каждый вариант мы сосчитали столько раз, сколькими способами можно переставить эти две единицы, т.е. два раза. Аналогично, убирая разницу между двойками, мы замечаем, что каждый вариант снова сосчитан два раза. А значит, верный ответ в задаче - $7!:(2!\cdot 2!)=1260$.
Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4?
В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.
Ответ:
Варианты ответов:
Будем считать, что три единицы различны. Тогда вариантов составить число из имеющихся цифр всего $6!=720$. В самом деле, на первое место можно поставить любую из шести имеющихся цифр, на второе - любую из пяти оставшихся цифр, и т.д. Полученные варианты нужно перемножить.
Теперь будем считать единицы неразличимыми. Каждый способ мы сосчитали столько раз, сколькими способами можно переставить единицы, т.е. 3!=6. Значит, ответ к задаче - 6!:3!=120.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ОЛОВО>>? (Как и в прежних задачах, оставить буквы в исходном порядке тоже считается перестановкой.)
Ответ:
Варианты ответов:
Предположим сначала, что в слове <<ОЛОВО>> пять различных букв (пусть буквы О чем-нибудь различаются). На первое место можно поставить любую из пяти имеющихся букв, на второе - любую из четырёх оставшихся, и т.д. Эти варианты необходимо перемножить (потому что на каждый способ поставить букву на первое место найдётся четыре способа поставить букву на второе место, и т.д.) Получится 5!=120 способов.
Теперь уберём разницу между тремя буквами О. Сколько раз мы сосчитали каждый способ? Столько раз, сколькими способами мы могли переставить три буквы О, т.е 3!=6 способами. Значит, количество перестановок букв в слове <<ОЛОВО>> равно 120:6=20.
Тут возникает новая ситуация -- три одинаковые буквы, что уменьшает количество различных вариантов не в 2 раза, и даже не в 3 раза. А перестановок из трех букв
3!=6. Отсюда ответ 5!/3! = 20
Обратить внимание на серию ФАКТОРИАЛ
Сколькими способами можно поставить две неразличимые белые фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?
Ответ:
Варианты ответов:
Представим для начала, что фишки разные (например, белая и чёрная).
Поставим сперва на доску белую фишку. Это можно сделать 64 способами. На каждый из этих способов есть 63 способа поставить на доску чёрную фишку (её нельзя ставить в клетку, где уже стоит белая фишка). Итого $64\cdot 63=4032$ способа.
Теперь перестанем различать цвета фишек. Каждый из вариантов расстановки фишек мы сосчитали два раза (можно было любую из двух фишек покрасить в чёрный цвет). Следовательно, ответ в задаче: 4032:2=2016 способов.
Сколькими способами можно поставить одну чёрную и одну белую фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?
Ответ:
Варианты ответов:
Поставим сперва на доску белую фишку. Это можно сделать 64 способами. На каждый из этих способов есть 63 способа поставить на доску чёрную фишку (её нельзя ставить в клетку, где уже стоит белая фишка). Итого $64\cdot 63=4032$ способа.
Просто задача на повторение правила произведения, что нужно для след. задачи