Выберите серию
Сколькими способами можно разместить на шахматной доске две одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?
Ответ:
Варианты ответов:
Представим, что все ладьи различные (например, наклеим на каждую номер). Первую ладью можно поставить 64 способами. Так как ладья полностью выбивает свою горизонталь и вертикаль, то вторую ладью можно поставить 49 способами (остаётся по семь горизонталей и вертикалей). Итого $64\cdot 49$ способов.
Теперь вспомним, что ладьи одинаковые. Каждый из способов мы сосчитали дважды (мы могли любую из двух ладей назвать первой, а оставшуюся второй).
Итого ответ: $64\cdot 49 / 2 = 1568$ вариантов.
Вставьте пропуски в решении задачи *Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?*.
Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд. Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз, а значит, общее количество вариантов нужно __ на это число. Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз; так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ количество раз. Итого ответ: __ способов.
Ответ:
Варианты ответов:
Вставьте пропуски в решении задачи *"Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?"*.
– Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд.
– Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз.
– А значит, общее количество вариантов нужно __ на это число.
– Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз.
– Так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ несколько раз, а именно: __.
Итого ответ: __ способов.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<МАТЕМАТИКА>>?
Вариант поставить буквы в исходном порядке также считается перестановкой.
Ответ:
Варианты ответов:
Представим, что все буквы разные. Тогда будет 10! перестановок букв (на первом месте можно поставить любую из 10 букв, на второе - любую из 9 оставшихся, и т.д.)
Но у нас три буквы А, две буквы М и две буквы Т. Если мы теперь будем считать три А одинаковыми (а две М и две Т разными), то выясним, что каждый способ мы сосчитали 3!=6 раз - столькими способами можно поменять местами три буквы А.
Аналогично нужно разделить на 2, когда мы считаем М одинаковыми, и ещё на 2 - когда считаем одинаковыми Т. Итого ответ $10!:(3!\cdot 2!\cdot 2!)=151200$.
Это классическая задача на проверку и закрепление техники
Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<БАРАБАН>>?
(Способ поставить буквы в том же порядке также считается перестановкой.)
Ответ:
Варианты ответов:
Представим, что все буквы разные. Тогда всего есть 7!=5040 способов переставить буквы (на первое место можно поставить любую из семи букв, на второе - любую из шести оставшихся, и т.д.)
Теперь будем считать одинаковыми три буквы А (а две буквы Б пока разными). Каждый способ мы теперь сосчитали 3!=6 раз - столько, сколько способов переставить три буква А (потому что каждая перестановка букв А не меняет прочтение слова). Т.е. количество способов нужно разделить на 6.
А теперь сделаем одинаковыми и две буквы Б. Тогда каждый способ мы сосчитали дважды, т.е. количество способов нужно ещё разделить на 2.
Итоговый ответ: $7!:(3!\cdot 2!)=420$.
Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.
Ответ:
Варианты ответов: