Выберите серию
Есть семь разноцветных бусинок. Сколькими способами из них можно собрать ожерелье? Ожерелье можно поворачивать, но нельзя переворачивать.
Ответ:
Варианты ответов:
Если мы хотим поставить семь бусинок в ряд, то у нас будет 7!=5040 способов это сделать.
Из любого ожерелья есть ровно семь способов сделать ряд бусинок (для этого нужно разомкнуть ожерелье в любом месте). Следовательно, вариантов сделать оерелье в семь раз меньше, чем вариантов поставить бусинки в ряд. Итого ответ: 7!:7=720 способов.
Сколькими способами можно разбить шестерых человек на три пары?
Ответ:
Варианты ответов:
Решение 1.
Пусть три пары - это пары дежурных в кабинетах №1, №2 и №3 из предыдущей задачи. Выбрать пару дежурных в кабинет №1 всего 15 способов (первого дежурного выбираем любого из шестерых, второго - любого из пятерых, и делим на 2, так как неважно, какой дежурный первый, а какой второй). Аналогично выбрать дежурных в кабинет №2 всего $4\cdot 3 / 2=6$ способов. В третий кабинет выбираются остальные дежурные (способ единственный).
Задача разбиения шести людей на три пары аналогична задаче выбора дежурных, только "кабинеты" здесь одинаковые. А значит, каждый вариант из задачи выбора дежурных сосчитан столько раз, сколькими способами можно поменять местами номера кабинетов (включая исходный), т.е. 3!=6 раз. Итого ответ: $15\cdot 6 / 6=15$ способов.
Решение 2.
Рассмотрим шесть позиций: "Первый человек в первой паре", "второй человек во второй паре", ..., "второй человек в третьей паре". Всего есть 6!=720 способов расставить шестерых людей на эти позиции (на первую позицию можно выбрать любого из шестерых, на вторую - любого из пятерых оставшихся, и т.д.)
Теперь перестанем различать первого и второго человека в первой паре (в паре оба равноправны). Теперь количество вариантов нужно разделить пополам (потому что каждый вариант сосчитан дважды). Аналогично нужно ещё два раза разделить на 2 (у нас есть ещё вторая и третья пары людей).
Наконец, перестанем различать номера пар. Теперь каждый вариант сосчитан 3!=6 раз.
Итоговый ответ: $6! / (2\cdot 2\cdot 2\cdot 6) = 15$.
Имеется шесть дежурных и три кабинета - №1, №2 и №3. Необходимо в каждый кабинет посадить по двое дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Варианты ответов:
Заполним сперва кабинет №1. Первого дежурного в этот кабинет можно выбрать шестью способами, второго - пятью способами. итого упорядоченную пару дежурных мы можем выбрать $6\cdot 5=30$ способами. Но нам не важно, который из двух дежурных выбран первым, а какой вторым, поэтому каждый з исходно сосчитанных 30 способов мы сосчитали дважды, а значит, способов 15.
Теперь осталось четверо дежурных. Аналогично предыдущему рассуждению, дежурных в кабинет №2 можно выбрать $4\cdot 3 / 2=6$ способами. Оставшихся дежурных направляем в кабинет №3. Это делается однозначно.
Так как на каждый из 15 вариантов выбрать дежурных для первого кабинета есть по шесть способов выбрать дежурных для второго кабинета, то ответ к задаче: $15\cdot 6=90$.
Деление вариантов на каждом шаге, а не в конце решения.
Важно обратить внимание на то, что после первых двух кабинетов пара в третий кабинет определяется однозначно.
Сколькими способами можно разместить на шахматной доске два одноцветных ферзя так, чтобы ни один из ферзей не бил другого?
Ответ:
Варианты ответов:
Вспомним задачу "Сумма и произведение - 12". В той задаче нужно было найти количество способов расставить двух ферзей - белого и чёрного - так, чтобы они не били друг друга. Ответ получался $28\cdot 42+20\cdot 40+12\cdot 38+4\cdot 36=2576$ способов.
Но у нас ферзи одинаковые (пусть оба чёрные), а не разноцветные, а значит, каждый вариант мы сосчитали дважды (любого из двух ферзей мы можем покрвсить в белый цвет). А значит, всего способов 2576:2=1288.
Сколькими способами можно разместить на шахматной доске три одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?
Ответ:
Варианты ответов:
Представим, что все ладьи различные (например, наклеим на каждую номер). Первую ладью можно поставить 64 способами. Так как ладья полностью выбивает свою горизонталь и вертикаль, то вторую ладью можно поставить 49 способами (остаётся по семь горизонталей и вертикалей). Аналогично третью ладью можно поставить 36 способами. Итого $64\cdot 49\cdot 36$ способов.
Теперь вспомним, что все ладьи одинаковые. Каждый из способов мы сосчитали столько раз, сколькими способами мы можем наклеить номера на трёх ладей, т.е. 3!=6 раз.
Итого ответ: $64\cdot 49\cdot 36 / 6=18816$ способов.