Выберите серию
Задача: Можно ли поставить на доске $3 \times 4$ четыре ладьи чтобы они не били друг друга?
Заполните пропуски в решении:
Ответ: __. Пусть у нашей доски __ строки и __ столбца. Заметим, что в каждой __ стоит не более __ ладьи, следовательно ладей на доске не больше чем __ ладьи и 4 их быть не может.
Ответ:
Варианты ответов:
Можно ли поставить на доске $3 \times 4$ три ладьи чтобы они не били друг друга?
Ответ:
Варианты ответов:
Существует много разных расстановок
Лягушка находится в первой клетке доски $1\times 10$. Она может прыгать на одну или на две клетки вперёд. Но на шестой клетке находится вкусная муха, которую лягушка хочет съесть — для этого лягушка должна встать на шестую клетку. Сколькими способами лягушка может допрыгать до последней клетки, съев по пути муху?
Ответ:
Варианты ответов:
Лягуша может попасть на шестую клетку 8 способами (см. задачу "Фибоначчи-3"). После этого остаётся пять клеток (включая шестую клетку, на которой сейчас находится лягушка), и преодолеть эти пть клеток можно пятью способами. На каждый способ преодолеть первую часть пути есть пять способов преодолеть вторую часть, поэтому ответ: 40.
Полезно:
Убедиться, что учащиеся понимают условия задачи и важность остановки на шестой клетке.
Попросить учащихся смоделировать движение лягушки по клеткам, чтобы визуализировать возможные пути.
Объяснить, как можно использовать рекурсию для подсчета всех возможных путей к последней клетке, учитывая необходимость остановиться на шестой клетке.
Предложить учащимся создать таблицу, где они будут записывать количество способов добраться до каждой клетки, что поможет им увидеть паттерны.
Лягушка находится в первой клетке доски $1\times 10$. Она может прыгать на одну или на две клетки вперёд. Сколькими способами она может сделать один или несколько прыжков и оказаться в клетке с чётным номером?
Ответ:
Варианты ответов:
Решение 1. Из задачи "Фибоначчи-3" получаем, что нам нужно вычислить сумму второго, четвёртого, шестого, восьмого и десятого чисел Фибоначчи. Складывая эти числа, получаем 88.
Решение 2. Докажем, что указанная сумма на 1 меньше, чем 11-е число Фибоначчи. Для этого рассмотрим полоску 1х11 и лягушку. Как она может добраться до 11-й клетки? Пусть последние несколько ходов (возможно, ноль) она прыгала на две клетки, а перед этим шагала на одну клетку. Откинем эти ходы и получим, что лягушка оказалась на какой-то чётной клетке. Таким образом мы учли все способы перемещения лягушки, кроме одного - когда она пять раз прыгнула на две клетки. Значит, сумма второго, четвёртого, шестого, восьмого и десятого числа Фибоначчи на 1 меньше, чем 11-е число Фибоначчи.
Сколькими способами можно разрезать прямоугольник $2\times 8$ на домино (прямоугольнички $1\times 2$)? Домино можно поворачивать.
Ответ:
Варианты ответов:
Докажем, что количество способов разрезать прямоугольник 2хn на домино есть (n+1)-е число Фионаччи. В самом деле, доску 2х1 можно разрезать единственным способом, доску 2х2 - двумя. От доски 2хn можно отрезать вертикальную домино - останется доска 2х(n-1), а можно две горизонтальные - останется доска 2х(n-2). Поэтому количество способов разрезать на домино доску 2хn есть сумма количества способов разрезать на домино доску 2х(n-1) и количества способов разрезать на домино доску 2х(n-2).
При решении этой задачи:
Можно нарисовать прямоугольник 2×8 и показать, как могут располагаться домино. Это поможет учащимся лучше понять задачу.
Проговорить как можно использовать рекурсивный подход для решения задачи, где каждый раз можно выбирать, как разместить первое домино (вертикально или горизонтально).
Предложить учащимся проверить свои ответы на меньших примерах (например, 2×2 или 2×4) для лучшего понимания.
Попросить учащихся сформулировать рекуррентное соотношение для нахождения количества способов разрезания прямоугольника, что поможет им увидеть взаимосвязь между разными способами отрезания первого домино и размерами оставшихся прямоугольников.