Выберите серию
Дано число 100. За ход из числа можно вычесть любой его делитель, отличный от самого числа. Проигрывает тот, у кого нет хода (т. е. получивший 1 выигрывает). Какой делитель нужно вычесть, чтобы выиграть? Перечислите все варианты. Если вы считаете, что выигрывает второй, напишите 0.
Ответ:
Варианты ответов:
Чётные числа являются выигрышными, нечётные - проигрышными. В самом деле, число 1 проигрышное, а 2 выигрышное. Из нечётных чисел вычитанием делителя можно получить только чётное число, а из чётного можно, например, вычесть 1, и получить нечётное. Поэтомк распределение исел на выигрышные и проигрышные совпадает с распреелением на чётные и нечётные. Из числа 100 нужно получить нечётное число, т.е. нужно вычесть нечётный делитель. Все такие ходы - 1, 5 или 25.
Имеется куча из 100 камней. Петя и Вася ходят по очереди (начинает Петя). За один ход можно взять 1, 3, 4 или 5 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько камней нужно взять Пете первым ходом, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная позиция есть у Васи, то напишите 0.
Ответ:
Варианты ответов:
Проигрышными являются числа (количества камней), дающие остаток 0 или 2 по модулю 8, остальные числа являются выигрышными. В самом деле, если в куче 0 или 2 камня, то начинающий проиграл ещё до начала игры. Числа 1, 3, 4, 5, 6 и 7 являются выигрыщными (в один ход). Далее можно заметить, что из чисел, кратным 8, можно получить только числа с остатком 7, 5, 4 или 3 по модулю 8, а из чисел с остатком 2 по модулю 8 - только числа с остатками 1, 7, 6 или 5. Из остальных же чисел можно получить число, кратное 8 или дающее остаток 2 по модулю 8 (из 1, 3, 4 и 5 можно сделать 0, из 6, и 7 - 2). Таким образом, мы расставили выигрышные и проигрышные позиции. Число 100 даёт остаток 4 по модулю 8, поэтому единственный выигрышный ход - взять 2 камня (тогда Вася будет стартовать с проигрышного числа 98).
На пляже есть куча из 50 камней. За ход можно взять один или несколько камней, но не более трети кучи. Проигрывает тот, кто не может походить (т. е. перед его ходом осталось два камня). Сколько камней необходимо взять первому для выигрыша? Если вы считаете, что выиграет второй, напишите 0.
Ответ:
Варианты ответов:
Число 2 является проигрышным, т.к. если осталось 2 камня, то начинающий уже проиграл. Число 3, соответственно, выигрышное. Число 4 проигрышное, числа 5 и 6 выигрышные (из куч 5 или 6 камней можно сделать куча 4 камня). Продолжая далее, получаем, что 7 - проигрышное число, от 8 до 10 - выигрышные, 11 - проигрышное, от 12 до 16 выигрышные, 17 проигрышное, от 18 до 25 выигрышные, 26 проигрышное, от 27 до 39 выигрышные, 40 проигрышное, от 51 до 59 выигрышные. Итак, число 50 является выигрышным, и единственный выигрышный ход - взять 10 камней. Совсем простой закономерности распределения проигрышных чисел в данной задаче нет (хотя ясно, что каждая следующее проигрышное число примерно в полтора раза больше предыдущего).
На доске написано число. Петя и Вася ходят по очереди. За ход можно вычесть из числа любую ненулевую цифру, содержащуюся в данном числе (после хода цифры в числе меняются, и возможности у соперника могут быть другими!) Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Изначально есть число 123456789. Какую цифру необходимо вычесть первому, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная стратегия есть у второго, напишите 0.
Ответ:
Варианты ответов:
Анализ игры показывает, что проигрышными являются позиции, в которых число оканчивается на 0. В самом деле, в конце игры образуется число 0, и оно является проигрышным. Из числа, не оканчивающегося на 0, всегда можно вычесть последнюю цифру (и тогда оно станет оканчиваться на 0), а из числа, оканчивающегося на 0, любым возможным ходом получается число, которое на 0 не оканчивается. Таким образом, стратегия игрока - вычитать последнюю цифру (если она не равна 0).
Имеется куча из 12345 камней. Петя и Вася ходят по очереди (начинает Петя). За один ход можно взять 5, 6, 7, 8, 9 или 10 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько камней нужно взять Пете первым ходом, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная позиция есть у Васи, то напишите 0.
Ответ:
Варианты ответов:
Из этой позиции выиграет Вася. Проигрышными являются позиции, в которых число камней даёт остаток 0, 1, 2, 3 или 4 по модулю 15. В самом деле, если в куче осталось 0, 1, 2, 3 или 4 камня, то начинающий протгрывает сразу. Если в куче от 5 до 14 камней, то начинающий выигрывает. Любой ход можно дополнить таким ходом, чтобы в паре ходов в сумме было взято 15 камней. Поэтому если позиция x проигрышная, то и x+15 тоже проигрышная, поэтому все позиции, дающие остатки 0, 1, 2, 3 или 4 по модулю 15 - проигрышные. Но с любой другой позиции есть ход в одну из проигрышных.