Выберите серию
По окружности расставлено 100 чисел. Каково их среднее арифметическое, если известно, что сумма любых восьми подряд идущих чисел равна 24?
Ответ:
Варианты ответов:
Сложив суммы всех восьмерок подряд идущих чисел, получим 8S, где S - сумма всех 100 данных чисел. Итак, получаем, что 100 x 24 = 8S. Получается, что S = 300, а значит среднее арифметическое всех 100 чисел равно S / 100 = 3.
При работе с этой задачей полезно иметь ввиду, что в задачах с круговыми последовательностями или периодическими условиями полезно использовать свойства периодичности (повторяемости). Обратите внимание на то, как сумма групп может быть связана с общей суммой всех элементов.
Вася 1 сенятбря съел 450 граммов мороженого, 2 сентября - 150 граммов, 3 сентября вообще не ел мороженого, а затем каждый день, начиная с 4 сентября съедал количество мороженого, равное среднему арифметическому съеденного за все предыдущие дни сентября. Сколько килограммов мороженого Вася съел за сентябрь?
Ответ:
Варианты ответов:
Среднее арифметическое съеденного за первые 3 дня - (450+150+0) : 3 = 200 г. Значит, 4 сентября Вася съест 200 г, при этом среднее значение съеденного за первые 4 дня останется равным 200 г (действительно, ( 3 x 200 + 200 ) : 4 = 200 ). И т.д., во все последующие дни Вася съедал по 200 г. Итого за сентябрь - 30 x 200 = 6000 г = 6 кг.
Даны три числа. Если вычеркнуть первое число, то среднее арифметическое увеличится на 1, если же вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое увеличится на 4. На сколько уменьшится среднее арифметическое трех данных чисел, если вычеркнуть третье число?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть среднее арифметическое трех данных чисел равно s, а сами числа - s+x, s+y, s+z, так что x+y+z=0. Из первого условия следует, что ((s+y)+(s+z)) / 2 - s = 1, откуда y+z =2. Аналогично, из второго условия имеем x+z = 8. Тогда x+y = -10, откуда ((s+x)+(s+y)) / 2 - s = -5.
При работе с этой задачей
1) Полезно обсудить, как связано среднее аврифметичсекое какого-то набора чисел с суммой средних арифметических всех пар/троек/четверок и т.д. из этого набора.
2) Можно использовать систему уравнений для анализа изменений среднего арифметического при вычеркивании чисел.
3) Полезно проанализировать, как каждое изменение влияет на итоговое значение.
Турист стартовал из лагеря и поднялся в гору, его средняя скорсть при подъеме равнялась 2км/ч. Затем он возвратился обратно в лагерь, средняя скорокть на обратном пути составила 4 км/ч. Во сколько раз время, затраченное на подъем, было больше времени, затраченного на обратный путь?
Ответ:
Варианты ответов:
Если S - длина маршрута, то (из формулы средней скорости) время подъема равно t = S/2, а время на обратный путь - t‘ = S/4. видим, что t=2t‘.
Среднее арифметическое нескольких натуральных чисел равно 11,4. Какое наименьшее количество чисел могло быть?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть k - количество чисел. Тогда их сумма равна 11,4k, что должно равняться целому числу. Иначе говоря, 114k должно делиться на 10. Так как 114 и 5 взаимно простые, то k должно делиться на 5. С другой стороны, легко привести конкретный пример, показывающий, что k=5 подходит.