Мама купила для риса, гречки и манки коробочки с соответствующими надписями. Когда она отвлеклась, ее дочка успела заполнить все банки крупами, причем, ни одна крупа не оказалась в нужной банке. Открыв банку с надписью «Рис», мама с удивлением обнаружила там гречку. А какая крупа в банке с надписью «Гречка»?

Если в банке с надписью "Гречка" находится рис, а на банке с надписью "Рис" - гречка, то манка находится в коробке с надписью "Манка", что невозможно. Значит, в банке с надписью "Гречка" не рис. Но и не гречка, так что остаётся манка.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух ферзей – белого и чёрного, так чтобы они не били друг друга?

Рассмотрим несколько случаев.
Пусть белый ферзь стоит на краю доски (на одной из 28 клеток). Тогда он бьёт 21 клетку (7 по горизонтали, 7 по вертикали и 7 по диагонали или по двум диагоналям), и ещё на одной стоит. Итого 22 клетки.

А значит, чёрного ферзя можно поставить 64 - 22 = 42 способами – на любую из оставшихся свободных непобитых клеток. В этом случае, пару не бьющих ферзей, где белый стоит в одной из крайних клеток доски, можно выбрать $28\cdot42$ способами.

Пусть теперь белый ферзь стоит на следующей каёмке, состоящей из 20 клеток (т.е. его с краем доски разделяет одна клетка). Тогда он бьёт 23 клетки, на одной стоит, и чёрного ферзя можно поставить 64 - 24 = 40 способами.

Аналогично, если белый ферзь стоит на следующей каёмке (12 клеток), то чёрного можно поставить 38 способами.

Наконец, если белый ферзь стоит на одной из четырёх центральных клеток, то чёрного ферзя поставить можно 36 способами.

Итого на шахматной доске 8 на 8 пару не бьющих друг друга ферзей разных цветов можно поставить: $28\cdot42+20\cdot40+12\cdot38+4\cdot36$.

Сколькими способами можно поставить на доску двух ферзей - белого и чёрного, так чтобы они не били друг друга, а белый ферзь стоял на четвёртой горизонтали?

Рассмотрим несколько случаев.

Если белого ферзя поставить на клетку A4 или на H4, то он будет бить 21 клетку (помимо той, на которой стоит сам). А значит, чёрного ферзя можно поставить 64-21-1=42 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 42=84$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке B4 или G4, то он бьёи ещё 23 клетки, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-23-1=40 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 40=80$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке C4 или F4, то он бьёи ещё 25 клеток, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-25-1=38 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 38=76$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке D4 или E4, то он бьёи ещё 27 клеток, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-28-1=36 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 36=72$ способами.

Эти случаи образуют непересекающиеся множества, а нам необходимо сосчитать, сколько элементов в их объединении. Для получения итогового ответа нужно сложить посчитанные количества способов: 84+80+76+72=312 способов.

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске двух ферзей - белого и чёрного, - так, чтобы они не били друг друга, а белый ферзь стоял на одной из крайних горизонталей (т.е. на первой или на восьмой)?

Белого ферзя можем поставить 16 способами. Если белый ферзь стоит на первой или на восьмой горизонтали, то он бьёт ещё 21 клетку - семь по горизонтали, семь по вертикали и ещё семь по диагонали. Значит, если белый ферзь стоит на первой или на восьмой горизонтали, то чёрного ферзя мы можем поставить 64-21-1=42 способами (не можем поставить туда, где стоит белый ферзь, и не можем поставить на клетку, которую он бьёт). Итого ответ: $16\cdot 42=672$ способа.

Теперь у Игоря уже 6 тетрадок, 5 блокнотов, 4 записные книжки, 3 ручки. Сколькими способами Игорь может выбрать также два предмета с разными названиями?

Посчитаем количество пар наименований предметов. Каждому из четырёх наименований в пару можно выбрать одно из трёх оставшихся наименований. Получается $4\cdot3=12$ пар. Но каждая такая пара посчитана дважды.

Например, пара *тетрадка и ручка* не отличается от пары *ручка и тетрадка*.

Значит, разных пар наименований в 2 раза меньше, чем 12. То есть $(4\cdot 3) : 2 = 6$.

Теперь перечислим их и для каждого посчитаем количество способов выбрать пару предметов с разными названиями:

А) (тетрадка, блокнот): $6\cdot 5=30$;

Б) (тетрадка, записная книжка): $6\cdot 4=24$;

В) (тетрадка, ручка): $6\cdot 3=18$;

Г) (блокнот, записная книжка): $5\cdot 4=20$;

Д) (блокнот, ручка): $5\cdot 3=15$;

Е) (записная книжка, ручка): $4\cdot 3=12$.

Можно перечислить все их по порядку  – сначала 30 вариантов (А), а затем 24 варианта (Б) и так далее.

Поэтому эти варианты нужно сложить, получается 30+24+18+20+15+12=119 способов.