0

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Ученики класса изучают иностранные языки: английский, французский и немецкий. Каждый язык учит 15 человек. При этом и английский, и французский изучают 4 человека, французский и немецкий – 5 детей, а английский и немецкий – 10. Сколько всего детей изучает языки, если есть ровно 3 ребёнка, изучающих все три языка?_

*Решение.*

Дети, изучающие языки, делятся на __ типов по набору изучаемых ими языков.
Детей, изучающих все три языка, по условие трое. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно два конкретных языка, например, английский и французский, надо из общего числа детей, изучающих английский и французский вычесть количество детей, изучающих ещё и немецкий. То есть детей, изучающих только английский и французский – $4-3=1$.
Аналогично, __ ребёнка изучают только французский и немецкий, и 8 детей – только английский и немецкий. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно один конкретный язык, например, английский, надо из общего числа детей, изучающих английский, вычесть количество детей, изучающих что-то ещё.
Есть __ варианта, что ещё кроме английского дети могут учить.

Либо они, в добавок к английскому, учат и французский и немецкий – таких 3 ребёнка.
Либо учат ещё французский, но не немецкий, таких, как мы посчитали ранее --- 1 ребёнок.
Либо учат ещё немецкий, но не французский. А таких, как было посчитано ранее --- 7 человек.

Итого только английский учат $15-3-1-8=3$.

Аналогично, только французский учат __ детей, а только немецкий – 2 ребёнка. Осталось сложить все найденные количества, чтобы узнать общее число детей. $3+1+2+8+3+9+2=28$ детей учат языки.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=14$, $|A\cap B|=10$, $|A\cap C|=5$ и $|A\cap B\cap C|=4$. Найдите $|A\backslash (B\cup C)|$.

Чтобы посчитать число детей, увлекающихся только рисованием, нужно вычесть из общего числа детей, увлекающихся рисованием, число тех, кто занимается ещё чем-то другим. Если ребенок занимается не только рисованием, то для него есть 3 варианта.
1) Он увлекается и музыкой и танцами. Таких по условию четверо.
2) Он увлекается музыкой, но не увлекается танцами.
3) Он увлекается танцами, но не музыкой.

Посчитаем количество детей второго типа. Всего детей увлекающихся музыкой и рисованием 10, из них надо вычесть число тех, кто занимается ещё и танцами, а таких четверо. Итого детей, кто увлекается рисованием и музыкой, но не танцами, всего $10-4=6$.

Аналогично, посчитаем число детей третьего типа. Всего детей увлекающихся танцами и рисованием – 5, из них надо вычесть число тех, кто занимается ещё и танцами, а таких четверо. Итого детей, кто увлекается рисованием и музыкой, но не танцами, всего $5-4=1$ ребёнок.

Итого, из детей, увлекающихся рисованием, чем-то ещё другим занимаются $4+6+1=11$ человек. Значит, оставшиеся 3 ребёнка увлекаются только рисованием.

Некоторые из учеников увлекаются рисованием, музыкой и танцами. При этом известно, что 14 ребят увлекается рисованием, 10 – рисованием и музыкой, 5 – рисованием и танцами, а 4 интересуется и рисованием, и музыкой, и танцами. Сколько детей увлекается только рисованием?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=10$, $|C|=10$, $|A\cap B|=3$, $|B\cap C|=2$, $|C\cap A|=1$ и $|A\cap B\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

Дети, посещающие кружки, делятся на 6 типов, по тому, какие кружки они посещают.

Есть 3 типа детей, посещающих ровно два кружка:
1) это дети, занимающиеся математикой и физикой;
2) дети, занимающиеся математикой и информатикой,
3) и дети, занимающиеся физикой и информатикой.

Из условия таких суммарно $2+3+1=6$ человек.

Ещё есть три типа детей, посещающих только один кружок:

1) те, кто ходят только на математику;
2) те, кто ходят только на физику;
3) те, кто ходят только на информатику.

Посчитаем количества детей этих типов отдельно. Чтобы узнать, сколько детей занимаются только математикой, надо вычесть из общего количества детей занимающихся математикой, количество тех детей, кто занимается не только математикой. А именно количество тех, кто занимается ещё и физикой, и тех, кто занимается ещё и информатикой. Значит, детей занимающихся только математикой – $10-2-3=5$.

Теперь посчитаем число детей, занимающихся только физикой. Из 10 детей, занимающихся физикой $2+1=3$ занимаются ещё чем-то.

Значит, занимающихся только физикой – $10-3=7$. Аналогично, детей занимающихся только информатикой – $10-3-1=6$.

Чтобы найти общее число детей, сложим количества детей каждого из типов. Итого получается $2+3+1+5+7+6=24$

Для учеников класса работают кружки по математике, физике и информатике, в каждом занимается по 10 человек. При этом, у кружков по физике и математике 2 общих участника, у кружков по математике и информатике – 3 общих, а у кружков по физике и информатике – только 1 общий участник.

Сколько всего детей посещает кружки, если нет ребенка, занимающегося во всех трёх кружках?

Даны три множества $A, B, C$. Известно, что $|A|=4$, $|B|=15$, $|C|=10$, $|A\cap B|=2$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

Детей, получивших четверку, по условию 15 человек. Все остальные получили либо только пятёрку, либо только тройку, либо ничего. Посчитаем количество детей, получивших только тройку. Всего детей получивших тройку – 10, никто из них не получил пятёрки, а 5 – получили четверку. Тогда детей получивших только тройку – $10-5=5$. Теперь посчитаем количество детей, получивших только пятёрку. Всего детей получивших пятёрку – 4, никто из них не получил тройки, а 2 – получили четверку. Тогда детей получивших только тройку – $4-2=2$. Итого получается $15+5+2=22$ ребёнка.

За один учебный день некоторые из учеников получили тройки, четверки и пятерки. При этом оказалось, что пятерки получили 4 человека, четверки – 15, а тройки – 10. Известно что и пятерку, и четверку получило двое детей, а и четверку, и тройку – пятеро, но никто не получил и пятёрку, и тройку одновременно. Сколько всего детей получивших оценки?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=24$, $|B|=15$, $|A\cup B|=30$. Найти $|A\cap B|$.

Всего в классе $30-24=6$ детей, пропустивших линейку в 1 классе. Из условия мы знаем, что они были на линейке во второй год. Во второй год на линейке было 15 детей, 6 из них не были в предыдущем году, значит остальные 9 – были.

Из 30 учеников второго класса каждый хотя бы раз был на линейке 1 сентября. При этом 24 ребёнка были на линейке в первом классе, и 15 детей – во втором. Сколько ребят присутствовали на линейке оба раза?