Выберите серию
Является ли четным число 1111...1112 : 2? (всего в записи первого числа 100 единиц)
Ответ:
Варианты ответов:
Воспользуемся признаком делимости на 4: последние цифры должны образовать число, делящееся на 4. У нас это число - 12. Значит, наше число делится на 4, поэтому после деления на 2 в частном окажется четное число.
Признак делимости на 4. Число дает такой же остаток от деления на 4 как и число, образованное последними двумя цифрами.
Какое наименьшее количество цифр "9" нужно выписать подряд, чтобы получилось натуральное число, делящееся на 81?
Ответ:
Варианты ответов:
Заметим, что 999...9 = 9 x 111...1. Значит. число 999...9 делится на 81 = 9x9 тогда и только тогда, когда 111...1 делится на 9. По признаку делимости на 9, это выполнено, когда сумма цифр числа 111...1 делится на 9, т.е. когда количество цифр в этом числе делится на 9. Наименьшее подходящее количество - 9.
Какую цифру надо прибавить к числу $2022\cdot 2023\cdot 2024$, чтобы результат делился на 10?
Ответ:
Варианты ответов:
Последняя цифра данного произведения совпадает с последней цифрой произведения 2·3·4, и следовательно, она равна 4. Остается понять, какую цифру нужно прибавить, чтобы результат делился на 10, т.е. оканчивался на 0. Таким образом, нужная нам цифра - 6.
В произведении последяя цифра завист только от произведения последних цифр сомножителей.
Яну нравятся числа, делящиеся на 12. На какую цифру надо заменить букву d в числе 4445556d6 так, чтобы получилось число, которое нравится Яну? (укажите все возможности через пробел)
Ответ:
Варианты ответов:
Наше число должно делиться на 12=3x4, т.е. одновременно делиться на 3 и на 4. Тогда сумма цифр 4+4+4+5+5+5+6+d+6; должна делится на 3, поэтому цифра d делится на 3. Теперь из четырех возможностей (0, 3, 6, 9) надо выбрать такие, чтобы наше число делилось на 4, т.е. согласно признаку делимости на 4, чтобы число, образованное двумя последними цифрами, делилось на 4. Подходят цифры d=3 и d=9.
Сумму цифр можно не считать в лоб.
Заметим, что четверки и пятерки в записи используются кратное трем число раз, а остальные цифры делятся на 3.
Запишите наименьшее из чисел, которое делится на 15 и может быть получено из числа 258741 перестановкой цифр.
Ответ:
Варианты ответов:
Наше число должно делиться на 15=3x5, т.е. одновременно делиться на 3 и 5. Сумма цифр делится на 3, значит число будет делиться на 3 после любой перестановки цифр. Так как число должно делиться на 5, последней цифрой из данных цифр может быть только 5. Теперь, чтобы наше число оказалось наименьшим, остальные цифры надо поставить в порядке возрастания. Получаем результат: 124785.