Выберите серию
Пять точек на плоскости соединяют непересекающимися отрезками. Какое наименьшее количество отрезков нужно провести, чтобы все точки оказались соединёнными между собой (возможно, через другие точки)?
Ответ:
Варианты ответов:
Назовём компонентой группу соединённых между собой точек. Изначально у нас пять компонент (каждая точка по отдельности). Каждый вновь проведённый отрезок либо лежит в одной компоненте, либо соединяет две компоненты, уменьшая на 1 количество компонент. Значит, необходимо 4 отрезка, чтобы осталась одна компонента.
Петя и Вася выписывают 10-значное число, ставя ненулевые цифры по очереди, начиная с самой правой цифры и далее справа налево. Начинает Петя. Петя выигрывает, если полученное в конце число будет простым. Сможет ли Вася помешать Пете выиграть?
Ответ:
Варианты ответов:
Способ 1.
До последнего хода Вася может играть как угодно, а последним ходом поставить цифру так, чтобы сумма цифр полученного числа стала делиться на 3 (достаточно выбрать одну из цифр 1,2,3). Значит, полученное 10-значное число будет делиться на 3, и следовательно, не будет простым числом.
Способ 2.
Васе достаточно повторять за Петей его ходы. В ответ на любую ненулевую цифру Пети Вася сможет записать такую же. В итоге десятизначное число будет делиться на 11, и следовательно, не будет простым числом.
У Гриши четыре карточки с цифрами 3,4,5,6. Помогите ему составить наибольшее возможное четырёхзначное число, делящееся на 33. Какое число получилось?
Ответ:
Варианты ответов:
Число должно делиться на 33, т.е. одновременно делиться на 3 и на 11. На 3 число будет делиться всегда, так как сумма цифр 3+4+5+6 делится на 3. Самое большое возможное число - 6543. Но оно не делится на 11, так как 6-5+4-3 не делится на 11. Следующее число - 6534. Оно делится на 11, так как 6-5+3-4=0 делится на 11. Значит, 6534 нам подходит.
Известно, что число $172\star\star$ (c двумя неизвестными последними цифрами) делится на 110. Чему равно частное?
Ответ:
Варианты ответов:
Последняя цифра точно 0. Остается поделить число 172* на 11. Предварительно найдем *: по признаку делимости на 11, 1-7+2-* должно делиться на 11, т.е. -4-* должно делиться на 11. Отсюда *=7, и наш ответ: 1727:11=157.
Сколько чисел среди данных, делятся нацело на 11?: 3251, 77777, 1001, 10001, 209.
Ответ:
Варианты ответов:
Воспользуемся признаком делимости на 11: сумма цифр на четных местах минус сумма цифр на нечетных местах делится на 11.
3-2+5-1 = 5 - не делится на 11,
7-7+7-7+7 = 7 - не делится на 11,
1-0+0-1=0 - делится на 11,
1-0+0-0+1=2 - не делится на 11,
2-0+9=11 - делится на 11.
Итого 2 числа из 5.
77777=7*11111
1001=7*11*13