Выберите серию
Сколько есть восьмизначных чисел, у которых цифры идут в порядке возрастания?
Ответ:
Варианты ответов:
В таком чисел не может быть цифры 0. Остальные цифры 1,2,...,9 кроме какой-то одной цифры, составляют число. Вычеркнув одну из цифр (9 возможностей) мы получаем набор из 8 цифр, который однозначно определяет число (цифры должны идти в порядке возрастания).
Решая эту задачу полезно обсудить, с какого числа может начинаться такое число; какие цифры могут быть в его записи и в каком порядке.
Подряд записали без пробелов все трехзначные числа по порядку: 100101102...999. Какая цифра у получившегося числа находится на 210-й позиции (считая слева)?
Ответ:
Варианты ответов:
Выпишем каждую третью цифру в нашем числе - получится последовательность 01234... - это последние цифры исходных трехзначных чисел. Нас интересует 210-я цифра исходной последовательности, т.е. 70-я цифра последовательности 01234... В силу периодичности с периодом 10, эта цифра - 9.
Нужно обсудить, как можно упростить эти задачу. Как переформулировать ее так, чтобы число оказалось меньше, а цифра, которую будем искать в новом числе, не изменилась.
При решении этой задачи используем идеи:
1) так как записаны трехзначные числа, то нас интересует 70-я цифра последовательности, которая получится, если отбросить первые две цифры в каждом трехзначном числе.
2) идея периодичности: так как получившееся после отбрасывания число - это повторяющаяся последовательсть цифр от 0 до 9, то 70-я ифра - это последняя цифра этой последовательности, то есть 9.
Подряд записали все трехзначные числа: 100, 101, 102, ..., 999. Сколько цифр "0" было при этом записано?
Ответ:
Варианты ответов:
На последнем месте ноль встречается один раз в каждом десятке, итого 90 раз. В разряде десятков (на предпоследнем месте) ноль встречается 10 раз в каждой сотне, т.е. 90 раз. Итого - 90+90 = 180 нулей. Другое решение можно получить, заметив, что в послдених двух разрядах все цифры встречаются одинаковое количество раз.
Напишите восьмизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих.
Ответ:
Варианты ответов:
Петя и Вася играют в игру, по очереди заменяя звездочки на цифры в примере $4\star\star\star + 1\star\star$. Начинает Петя. Петя хочет, чтобы сумма получилась как можно меньше, а Вася - наоборот - чтобы сумма получилась как можно больше. Какая сумма получится при правильной игре обоих?
Ответ:
Варианты ответов:
Петя сможет своими ходами поставить три нуля в каждом из разрядов, тем самым обеспечить, чтобы сумма оказалась не более 4000 + 100 + 99.
Вася своими ходами сможет поставить две девятки в разряды десяток и единиц (в любом из слагаемых), обеспечив тем самым сумму не менее 4000 + 100 + 99.
При решении этой задачи:
1) Нужно определите, какой ход будет наилучшим для каждого из игроков и как его результат будет отражаться на итоговой сумме.
Отсюда первая пара ходов П – В: 40** + 19* или 409* + 1**.
2) Обратить внимание, что постановка 9 или 0 на место десятков в первом или во втором слагаемом не изменяет значение суммы.