Выберите серию
В первом тайме футбольного матча "Реал" владел мячом 60 процентов времени, а во втором - 64 процента. Сколько процентов времени "Реал" владел мячом за весь матч? (Матч состоит из двух таймов. Считаем, что таймы равны по времени.)
Ответ:
Варианты ответов:
*Способ 1*
Так как каждый тайм составил половину времени матча, можно выразить время владения мячом в процентах от времени матча: $60\cdot 0,5+64\cdot 0,5=30+32=62$ процента.
*Способ 2*
Пусть t - это время, которое продолжается одит тайм. Тогда матч длится 2t, а "Реал" владел мячом 0,60t + 0,64t = 1,34t. Тем самым, владение мячом за всю игру составляет 1,34t / (2t) = 0,62 от времени матча, т.е. 62 процента времени.
Петя и Вася стартовали в велосипедной гонке. Вася всю дистанцию ехал со скоростью, на 25 процентов превышающей скорость Пети. Сколько минут затратил на дистанцию Вася, если известно, что Петя проехал дистанцию за 20 минут?
Ответ:
Варианты ответов:
*Способ 1*
Вася всю дистанцию ехал со скоростью, на 25 процентов превышающей скорость Пети, то есть скорость Васи была в 125/100=5/4 раз больше скорости Пети. Значит Вася затратил в 5/4 раз меньше времени. Получаем время Васи:
$20:5/4=20\cdot 4/5=16$ минут.
*Способ 2*
Пусть s - длина дистанции, а v - скорость Пети, тогда 1,25v - скорость Васи. Если Петя затратил на дистанцию время t = s / v, то Вася - время s / (1,25v) = 4/5 (s / v) = 4/5 t = 16 минут.
В начале торгов цены на акции компаний А и Б были равны - по 200 рублей за акцию. Затем цена на акции компании А дважды увеличилась на 10 процентов, а цена на акции компании Б увеличилась на 20 процентов. На сколько рублей дороже теперь стоит акция компании А?
Ответ:
Варианты ответов:
После первого повышения цена акции А становится 200+20 = 220 руб., а после второго повышения 220+22 = 242 руб. Новая цена акции Б равна 200+40 = 240 руб. Итого искомая разность равна 2 рубля.
Требуется разлить 80 мл раствора в две пробирки так, чтобы объем раствора в первой пробирке составил 60 процентов от объема раствора во второй коробке. Сколько миллилитров должно оказаться в первой пробирке?
Ответ:
Варианты ответов:
*Способ 1*
Если в первой пробирке окажется 60 процентов от объёма раствора во второй, то можно принять объем раствора во второй пробирке за 10 частей. Тогда в первой пробирке должно быть 6 частей. Всего 80 мл, значит на одну часть приходится 80:16=5 мл. Таким образом, в первой пробирке должно быть $6\cdot 5=30$ мл, а во второй $10\cdot 5=50$ мл раствора.
*Способ 2*
Пусть объем во второй пробирке равен x. Тогда объем в первой пробирке должен равняться 0,6x. Тогда общий объем равен 1,6x, что равно 80 мл. Далее из уравнения 1,6x = 80 находим x=50. Значит, во второй пробирке 50 мл, а в первой - 80-50=30 мл.
Начальная цена первого товара вдвое больше цены второго. Через месяц первый товар подорожал на 5 процентов, а второй - на 8 процентов. Еще через месяц первый товар подорожал на 8 процентов, а второй - на 5 процентов. Во сколько раз теперь первый товар дороже второго?
Ответ:
Варианты ответов:
*Способ 1*
Повышение цены на 5 процентов означает, что цена увеличилась на 5/100, то есть составила 105/100 от исходной. Аналогичным образом повышение на 8 процентов означает, что цена увеличилась в 108/100 раз.
Порядок повышений не важен, так как от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, каждая из двух исходных цен увеличена в одно и то же количество раз.
Если начальная цена первого товара была вдвое больше цены второго, то после повышений цена первого товара снова будет вдвое больше цены второго. Ведь в отношение новых цен – это дробь, числитель и знаменатель которой содержать одинаковые множители, их можно сократить. Получится отношение исходных цен.
*Способ 2*
Примем начальную цену первого товара за a. Тогда его цена после первого повышения цен стала равняться 1,05a, а после второго повышения цен - 1,08(1,05a). Итого цена возрасла в 1,05 x 1,08 раз. Аналогично рассуждаем и понимаем, что цена второго товара возрасла в такое же количество раз. Значит отношение цен товаров не изменилось по сравнению с начальным.
Важно: Вспомнить представление процентов в виде обыкновенных дробей.
Вспомнить представление увеличения/уменьшения значения какой-либо величины в виде умножения исходной величины на десятичную дробь.
Вспомнить, как найти отношение величин. Проанализировать, что в рассматриваемой ситуации остается неизменным.