Выберите серию
Контуры двух четырехугольников пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?
Ответ:
Варианты ответов:
Сторона первого четырехугольника пересекает контур второго не большее чем в четырех точках (не более одной точки пересечения с каждой из сторон). Итого - не более 4x4 = 16 точек пересечения. Пример с 16 точками пересечения - на рисунке.
Отрезок пересекает контур четыреугольника (не обязательно выпуклого) в k точках. Каково наибольшее значение k?
Ответ:
Варианты ответов:
Отрезок пересекает отрезок не более чем в одной точке. Значит, в пересечении с четырьмя отрезками (сторонами четырехугольника) получается не более 4 точек пересечения. Пример для k=4 показан на рисунке.
Два контура треугольника пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?
Ответ:
Варианты ответов:
Одна сторона одного треугольника пересекается с контуром другого не более чем в 2 точках. Итого - не более 2x3 = 6 точек пересечения. Пример для k=6 несложно придумать - см. рис.
Клетчатый квадрат n x n разрезали на трехклеточные уголки. При каком наименьшем n это возможно?
Ответ:
Варианты ответов:
Площадь n x n должна делится на 3, поэтому n должно делиться на 3. Непосредственно проверяется, что n=3 не работает. n=6 работает: квадрат 6 x 6 можно разбить на прямоугольники 2x3, а каждый из таких прямоугольников - на два уголка.
Полезно:
1) Начать решение задачи целесообразно с анализа площади: площадь квадратного поля n x n равна n². Каждый трехклеточный уголок занимает площадь 3. Поэтому первый вывод: для того чтобы квадрат можно было разрезать на уголки, необходимо, чтобы n² было кратно 3. Поэтому n=3, 6, 9 и т.д.
2) Далее проверить, возможно ли разрезать на трехклеточные уголки квадрат 3х3. Нет.
3) Обсудить ответ на вопрос: какая наименьшая фигура может быть разрезана на такие уголки? Оказывается, что прямоугольник 2х3.
4) Квадрат со стороной какой длины можно разрезать на прямоугольники 2х3? Квадрат 6х6.
Можно ли одним росчерком (не отрывая карандаш от бумаги и не проходя по линиям дважды) нарисовать фигуру на рисунке?
Ответ:
Варианты ответов:
Пример ясен из рисунка.
