Выберите серию
На плоскости нарисовали точку и k кругов, не содержащих точку. Оказалось, что любая прямая, проходящая через точку, пересекает хотя бы один из этих k кругов. При каком наименьшем k такое возможно?
Ответ:
Варианты ответов:
Ясно, что k=1 не хватит: можно провести ""отделающую"" прямую l, для которой точка и окружность - в разных полуплоскостях. Тогда прямая, проходящая через точку и параллельная l, не подходит. k=2 уже хватает - см. рис.
Петя нарисовал сетку 3x4 (см. рис.) не проходя по линиям дважды. При этом он оторвал карандаш от бумаги k раз.
При каком наименьшем k это возможно?
Ответ:
Варианты ответов:
У нас 10 вершин, из которых выходит нечетное количество отрезков. На каждой такой вершине придется отрывать карандаш от бумаги, либо эта вершина - начало или конец обхода. Итого, у нас маршрут разбивается не менее чем на 10/2 = 5 частей. Значит, оторвать карандаш от бумаги придеться не менее 4 раз. Соответствующий пример несложно привести.
Какое наибольшее количество неперекрывающихся плиток 1x3 можно уложить в квадрат 5x5 ?
Ответ:
Варианты ответов:
Площадь квадрата равна 25, и так как 9x3>25, то 9 и более плиток 1x3 разместить не удастся. Как можно разместить 8 плиток - показано на рисунке.
Какое наименьшее количество отрезков придется дорисовать (см. рис.), чтобы полученную фигуру можно было нарисовать одним росчерком?
Ответ:
Варианты ответов:
Проведем один отрезок AA‘. После этого фигуру несложно обойти (стартуя с B и завершая в B‘). Остается понять, что исходную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Заметим, что из вершин A, A‘, B, B‘; выходит нечетное количество ребер. Если предположить, что обход одним росчерком найдется, то каждая из этих четырех вершин должна быть началом или концом обхода - противоречие.
Каким наименьшим количеством прямых можно перечеркнуть все клетки клетчатого квадрата 3x3? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)
Ответ:
Варианты ответов:
Одного разреза не зватит - можно показать, что один разрез пересечет не более 5 клеток. Можно показать и иначе: пусть проеведен один разрез l. Рассмотрим полуплоскость относительно l, которая содержит центр квадрата 3x3. в этой полуплоскости будет целиком лежать один из угловых квадратиков. Значит, одного разреза не достаточно. Пример с двумя разрезами - на рисунке.
Полезно обсудить следующие идеи:
Первая идея: можно ли провести прямую, которая будет пересекать все 4 угловых квадрата (в частности, в квадрате 3Х3).Нет, если провести прямую через центральную клетку (более точно – точку пересечения диагоналей) квадрата.
Вывод – прямых больше одной.
Вторая идея: определить, какое максимальное количество клеток квадрата 3х3 может пересечь прямая.
Третья идея: если одной прямой можно пересечь 5 клеток, то двух прямых должно хватить, если расположить их перпендикулярно друг другу с точкой пересечения в центральной клетке квадрата (в квадрате 9 клеток). Здесь можно использовать идею поворотной симметрии.
Четвертая идея (не является обязательной): сделать рисунок для наглядности.