Выберите серию
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD взяли точку E. Сколько есть пятиугольников с вершинами A, B, C, D, E ?
Ответ:
Варианты ответов:
E должна быть соединена с соседними вершинами четырехугольника. Для каждого из таких 4 вариантов пятиугольник рисуется однозначно (см. рис).
Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество клеток может перечеркнуть одна прямая? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)
Ответ:
Варианты ответов:
Для определенности, можно считать, что прямая идет "вверх-вправо". Пойдем по этой прямой вверх-вправо. Если мы находимся в текущей клетке, которую пересекает прямая, то в следующую клетку будет переход вправо или вверх. Переходов вправо не более двух, аналогично переходов вверх не более двух, итого пересеченных клеток не более 1+2+2=5.
Пример для k=5 - на рисунке.
Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество неперекрывающихся доминошек 1x2 можно в нем разместить?
Ответ:
Варианты ответов:
Площадь квадрата равна 9, и так как $5\cdot 2>9$, то 5 и более плиток $1\times 2$ разместить не удастся. Как можно разместить 4 плитки - показано на рисунке.
Отрезок пересекает контур треугольника в k точках. Каково наибольшее значение k?
Ответ:
Варианты ответов:
Предположим, отрезок XY пересек все три стороны треугольника (во внутренних точках). Но какие-то две вершины треугольника попадут в одну полуплоскость относительно прямой XY. Тогда отрезок не пересечет сторону треугольника, соединяющую эти две вершины. Это противоречие показывает, что k<3. Для k=2 легко привести пример.
Дана четверка чисел $(0, 0, 0, 0)$. За операцию к этой четверке прибавляется либо четверка $(3,5,6,2)$, либо четверка $(5,2,4,3)$. Через несколько шагов первые три числа оказались равны оказались равны 63, 67 и 90. Чему стало равно четвертое число?
Ответ:
Варианты ответов:
Андрей, Борис, Валя и Галя каждый день ели конфеты. В какие-то дни Андрей съедал 3 конфеты, Борис – 5, Валя – 6, а Галя – 2. В оставшиеся дни Андрей съедал 5 конфет, Борис – две, Валя – 4, а Галя – 3. Через некоторое время оказалось, что за всё это время Андрей съел 63 конфеты, Борис – 67, а Валя – 90 конфет. Сколько конфет к тому моменту съела Галя?
Основная идея – найти то, что остается постоянным от шага к шагу.