Выберите серию
На полу размером 3 × 4 м лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 кв. м, другого - 4 кв. м, третьего - 3 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 кв. м. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 кв. м. Найдите площадь не покрытой части пола. В ответе укажите число, выразив площадь в кв. м.
Ответ:
Варианты ответов:
Площадь комнаты - 12 кв.м. Если каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 кв.м., то площадь пересечения любых двух ковров, не накрытая третьим ковром, равна 1 кв.м. Тогда площадь, покрытая только первым ковром, равна 5-1-1-0,5=2,5 кв.м, только вторым - 4-1-1-0,5=1,5 кв.м., только третьим - 3-1-1-0,5=0,5 кв.м. Общая покрытая площадь равна 0,5+1+1+1+2,5+1,5+0,5=8 кв.м. Значит, непокрытой оказалось 4 кв.м.
В классе каждый ученик занимается спортом, музыкой или языками. Спортом занимается 15 детей, музыкой - 13, языками - 12 детей. Семеро занимаются спортом и музыкой, шестеро - спортом и языками, пятеро - музыкой и языками. А какое наибольшее количество человек могло быть в классе?
Ответ:
Варианты ответов:
Обозначим за $x$ количество учеников, которые занимаются всеми тремя видами деятельности. Тогда только спортом и музыкой занимаются $7-x$ человек, только спортом и языками - $6-x$, только музыкой и языками - $5-x$. Тогда только спортом занимается $2+x$ учеников, только музыкой - $1+x$, только языками - тоже $1+x$. Складывая эти все числа, получаем $x+22$ учеников. Так как x не может быть больше $5$ (потому что $5-x$ занимаются музыкой и языками), получаем, что наибольшее количество учеников - $27$.
В первом решении, обозначив через неизвестное одно из подмножеств на схеме, удалось выразить количество детей в каждом из остальных подмножеств. Такой исследовательский подход помогает выразить все зависимости через одну переменную.
В этой задаче можно обойтись и без переменных, что удаётся не всегда. На примере этой задачи можно познакомить детей с идей формулы "включений-исключений".
Оценка.
Оценим возможно количество детей к классе. Если сложить количество спортменов, музыкантов и тех, кто изучает языки, то получим $15+13+12=40$ детей, но некоторые из них посчитаны более одного раза. А именно 7, которые занимаются спортом и музыкой, 6 - спортом и языками, 5 - музыкой и языками. Итак, $40-(7+6+5)=22$ ребенка, почти все из которых посчитаны по одном разу.
Но сколько раз мы посчитали тех, кто занимается и спортом, и музыкой, и языками?
Сначала таких ребят мы включили трижды, а затем их исключили. Значит, их нужно снова включить. Итак, чем больше таких детей, тем больше и учащихся в классе. Но какое наибольшее количество детей могут такими активными?
На самом деле их не более 5, так как именно столько занимаются музыкой и языками. Если все эти ещё и спортсмены, то как раз получается 5 активистов.
Значит, в классе не более 27 детей.
Пример. Причём их может быть 27, если все три кружка посещают 5 детей.
Развитие задачи
Какое наименьшее количество учеников может быть в классе?
В классе каждый ученик занимается спортом, музыкой или языками. Спортом занимается 15 детей, музыкой - 13, языками - 12 детей. Семеро занимаются спортом и музыкой, шестеро - спортом и языками, пятеро - музыкой и языками. Какое наименьшее количество человек могло быть в классе?
Ответ:
Варианты ответов:
Обозначим за x количество учеников, которые занимаются всеми тремя видами деятельности. Тогда только спортом и музыкой занимаются 7-x человек, только спортом и языками - 6-x, только музыкой и языками - 5-x. Тогда только спортом занимается 2+x учеников, только музыкой - 1+x, только языками - тоже 1+x. Складывая эти все числа, получаем x+22 ученика. Так как x не может быть отрицательным, наименьшее количество учеников окажется при x=0, т.е. 22.
В этой задаче можно обойтись и без переменных, что удаётся не всегда. На примере этой задачи можно познакомить детей с идей формулы "включений-исключений".
Оценка.
Оценим возможно количество детей к классе. Если сложить количество спортменов, музыкантов и тех, кто изучает языки, то получим $15+13+12=40$ детей, но некоторые из них посчитаны более одного раза. А именно 7, которые занимаются спортом и музыкой, 6 - спортом и языками, 5 - музыкой и языками. Итак, $40-(7+6+5)=22$ ребенка, почти все из которых посчитаны по одном разу.
Но сколько раз мы посчитали тех, кто занимается и спортом, и музыкой, и языками?
Сначала таких ребят мы включили трижды, а затем их исключили. Значит, их нужно снова включить. Итак, чем меньше таких детей, тем меньше и учащихся в классе.
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фрукты вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
Ответ:
Варианты ответов:
Двое любят все три вида фруктов. Значит, только груши и черешню любят 0 учеников, только груши и яблоки - 4, только черешню и яблоки - трое. Только груши любит один (7-4-2-0) человек, только черешню - 11-3-2-0=6 человек. Всего в классе 25 человек, четверо не любят никакие фрукты, 1+6+4+2+3=16 человек уже сосчитано, а не сосчитаны только те люди, которые любят только яблоки. Их получается 25-4-16=5. Тогда всего любителей яблок 5+4+3+2=14.
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
Ответ:
Варианты ответов:
Если сложить количество людей, знающих английский, испанский и немецкий, получится 240. Но в этой сумме сосчитаны дважды люди, знающие два языка (таких нет по условию задачи) и трижды - знающие три языка. Значит, 240-100=140 - это дважды сосчитанные люди, владеющие всеми тремя языками. Отсюда людей, владеющих тремя языками, всего 70.
