Выберите серию
Десять человек встретились, и некоторые стали пожимать друг другу руки. Оказалось, что двое пожали руки четырём людям, ещё двое - троим, ещё четверо - пятерым, и оставшиеся двое пожали руки всем остальным людям. Сколько всего было рукопожатий?
Ответ:
Варианты ответов:
Сосчитаем, сколько раз люди протягивали руки для рукопожатий. Это $2\cdot4+2\cdot 3+4\cdot5+2\cdot 9=52$. Но в каждом рукопожатии участвовали двое, поэтому рукопожатий в два раза меньше.
Каждый из десяти человек пожал руку остальным. Сколько было рукопожатий?
Ответ:
Варианты ответов:
Решение 1. Каждый пожимал руку девяти людям, то есть все вместе пожимали руки 90 раз. Но в каждом рукопожатии участвуют двое, поэтому рукопожатий было в два раза меньше.
Решение 2. Посмотрим на первого человека. Он должен пожать руку девяти другим. Теперь рассмотрим второго человека. Он мы уже сосчитали его рукопожатие с первым, и теперь должны сосчитать ещё восемь рукопожатий с его участием. У следующего человека останется 7 неучтённых рукопожатий, и т.д. В итоге получим 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45 рукопожатий.
Задача имеет решения, которые использут разные подходы в подсчете.
1) Подсчет удвоенного числа рукопожатий (отрезок с двумя концами);
2) Следить за каждым человеком по очереди и заметить сумму последовательных чисел.
Новый год встречали Маша, мама, папа и бабушка. В полночь они налили в свои бокалы лимонад и стали чокаться. Каждый хотел чокнуться со всеми остальными (с каждым по разу). А в соседней комнате сидел обиженный попугай и считал, сколько раз звенели бокалы. Какое число у него получилось?
Ответ:
Варианты ответов:
Решение 1. Назовём дзиньком каждый раз, когда двое чокались. Пусть Маша чокнулась со всеми (попугай сосчитал три дзинька). Мама должна чокнуться ещё с папой и бабушкой (два дзинька, потому что дзиньк мамы с Машей уже сосчитали). Ещё папа должен чокнуться с бабушкой - итого 6 дзиньков.
Решение 2. Каждый из четверых должен чокнуться три раза. Итого все вместе протягивали руки для чоканий 12 раз. Но в каждом чокании участвуют двое, поэтому всего было 6 чоканий.
Подсчет одного и того же разными способами.
Полезна графическая интерперетация как пропедевтика решения задач на графы.
В Солнечной системе планируется следующее межпланетное сообщение: от Меркурия будут рейсы до Венеры, Земли и Юпитера, от Венеры - до Меркурия, Земли и Сатурна, от Земли - до Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна, от Марса - до Земли, Юпитера, Сатурна и Урана. Кроме того, Юпитер будет связан с Сатурном, Ураном и Нептуном. На каждый рейс потребуется один космический корабль. Сколько кораблей понадобится?
Ответ:
Варианты ответов:
Сосчитаем все рейсы. Чтобы не считать рейсы дважды, будем считать только рейсы, направленные от внутренних планет к внешним. От Меркурия отходит 3 таких рейса, от Венеры – два не посчитанных (рейс до Меркурия мы уже сосчитали), от Земли – три не посчитанны, от Марса – три не посчитанны, от Юпитера тоже три. Итого 14 рейсов.
В Солнечной системе планируется следующее межпланетное сообщение:
– от Меркурия будут рейсы до Венеры, Земли и Юпитера,
– от Венеры - до Меркурия, Земли и Сатурна,
– от Земли - до Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна,
– от Марса - до Земли, Юпитера, Сатурна и Урана.
Кроме того, Юпитер будет связан с Сатурном, Ураном и Нептуном.
На каждый рейс потребуется один космический корабль.
Сколько кораблей понадобится?
В одном из классов интересной спортшколы учатся 30 ребят. Из них хоккеем занимаются 8, фигурным катанием – 9, 8 – конькобежным спортом (из которых двое – только им). Ровно один ученик ходит на тренировки и по фигурному катанию, и по хоккею одновременно, но он не любит конькобежный спорт. Пятеро – одновременно на фигурном катании и конькобежном спорте. Все остальные всё время уделяют ходьбе. Сколько существует вариантов отправить на соревнования команду из спортсмена, который занимается хотя бы двумя видами спорта, и любителя ходьбы?
Ответ:
Варианты ответов:
Из условия следует, что тремя видами спорта не занимается никто. Двое занимаются только конькобежным спортом, пятеро - конькобежным спортом и фигурным катанием. Всего занимаются конькобежным спортом восемь человек, а сосчитано из них $2+5=7$. Значит, один человек занимается конькобежным спортом и хоккеем. Получается, что семеро занимаются двумя видами спорта. Только хоккеем занимаются $7-1-1=5$, только фигурным катанием: $9-5-1=3$. Тогда хотя бы одним из видов спорта занимаются $5+3+2+1+1+6=18$ детей. Остальные 12 занимаются ходьбой. Составить пару спортсмена, удовлетворяющих условию задачи, можно $7 \cdot 12 = 84$ способами.
