Выберите серию
В однокруговом турнире по настольному теннису каждый участник одержал четыре победы. Сколько человек участвовало в турнире?
Однокруговым называется турнир, в котором каждые двое игроков играют ровно одну партию. Ничьих в теннисе не бывает.
Ответ:
Варианты ответов:
Первое решение. Пусть было всего $x$ игроков. Тогда партий всего было $x (x-1) / 2$ (каждый участвовал в x-1 партии, в каждой партии участвовало два игрока). С другой сороны, партий было столько же, сколько побед, а побед было 4x. Отсюда $x (x-1) / 2 = 4x$. Сократив на x и умножив выражение на 2, получим x-1=8, откуда x=9.
Второе решение. В каждой партии один человек выиграл, а один проиграл. Так как каждый участник выиграл 4 партии, то все остальные он проиграл. Заметим, что каждый сыграл одинаковое число игр (на один меньше, чем число людей), следовательно все проиграли тоже одинаковое число раз. Так как побед и поражений суммарно одинаково, то выходит, что у каждого ровно 4 поражения. Итого, у каждого 4 победы и 4 поражения. Значит, всего 8 игр, следовательно участников было 9.
Несколько человек пожимали друг другу руки, и оказалось, что каждый пожимал руки пятерым людям, а всего сделано 30 рукопожатий. А сколько людей в этом участвовало?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть было x людей. Тогда было сделано 5 x / 2 рукопожатий (каждый пожимал руки пятерым, в каждом рукопожатии участвовали двое). Имеем 5 x / 2 = 30, откуда x=12.
Десять человек встретились, и некоторые стали пожимать друг другу руки. Оказалось, что трое пожали руки всем остальным людям, ещё двое – шестерым, ещё четверо - пятерым. Скольким людям мог пожать руки оставшийся человек:
а) одному;
б) двоим;
в) троим;
г) четверым?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть x - количество рукопожатий последнего человека. Тогда всего рукопожатий было $(3\cdot9+2\cdot6+4\cdot5+x) / 2$. Так как это число должно быть целым, то х - нечётное. Но x не могло быть равно одному. Потому что трое пожимали руки всем остальным, а значит, каждый пожал руки хотя бы троим. Отсюда x=3.
Приведём пример, когда x=3. Трое пожали руки всем остальным; исключим их из рассмотрения. Оставшийся человек не мог больше никому пожать руку, поэтому исключим и его. Остались двое, которые пожимали руки троим (после вычета трёх рукопожатий у каждого) и ещё четверо, которые пожимали руки ещё двоим. Выстроим этих шестерых по кругу, и пусть каждый пожмёт руку своим соседям, а ещё двое противоположно расставленных людей пожмут руки друг другу. Получилась искомая конструкция.
Десять человек встретились, и некоторые стали пожимать друг другу руки. Оказалось, что трое пожали руки четырём людям, ещё двое - троим, ещё четверо - пятерым. Скольким людям пожал руки оставшийся человек:
а) одному;
б) троим;
в) четверым;
г) пятерым?
Ответ:
Варианты ответов:
Пусть оставшийся человек совершил x рукопожатий. Сосчитаем, сколько всего было сделано рукопожатий. Это число равно $(3\cdot4+2\cdot3+4\cdot5+х) / 2$ (в каждом рукопожатии участвуют двое). Это число должно быть целым, откуда x должен быть чётным. А значит, оставшийся человек пожал руки четверым людям.
Вставьте пропущенные числа в решение задачи
***"Могут ли 13 шахматистов устроить такой турнир, чтобы каждый шахматист сыграл ровно пять партий?"***
Решение с пропусками:
– Так как каждый из шахматистов участвовал в пяти партиях, то все они садились за игру __ раз в совокупности.
– Но в каждой партии участвуют __ игрока, а значит, всего должно было пройти __ партий.
– Это число нецелое, поэтому такой ситуации быть не может.
Ответ:
Варианты ответов:
Вставьте пропущенные числа в решение задачи
*Могут ли 13 шахматистов устроить такой турнир, чтобы каждый шахматист сыграл ровно пять партий?*
Решение с пропусками:
– Так как каждый из шахматистов участвовал в пяти партиях, то все они садились за игру __ раз в совокупности.
– Но в каждой партии участвуют __ игрока, а значит, всего должно было пройти __ партий.
– Это число нецелое, поэтому такой ситуации быть не может.
Игроки - вершины графа
Число партий - степень вершин
Вершин нечетной степени четное число.