Выберите серию
На доске написано двузначное число, а Петя, Вася и Коля пытаются поделить это число.
Петя: это число делится на 8, на 3 и на 5.
Вася: это число делится на 3, на 7 и на 8.
Коля: это число делится на 7, на 5 и на 8.
Известно, что каждый мальчик два раза ошибся и один раз сосчитал верно. Выясните, каким могло быть это число (приведите все варианты).
Ответ:
Варианты ответов:
Утверждение <<число делится на 8>> встречается три раза, а каждое из утверждений о делимости на 3, 5 и 7 --- по два раза. Так как всего дано три правильных ответа, то наше число делится на 8 и не делится на числа 3, 5 и 7. Кроме того, это число двузначное, поэтому есть только четыре варианта: 16, 32, 64, 88. (Число равно $8t$, где $1<t<13$, причём в разложении $t$ на простые множители участвуют только 2 и 11).
Петя, Коля, Саша и Игорь заняли первые четыре места в соревнованиях по лузганью семечек. В качестве приза за первое место выдали 4 мешка семечек, за второе --- 3, за третье --- 2, а за четвертое --- 1 мешок. Известно, что Петя, Саша и Игорь вместе получили меньше 9 мешков; Коля, Саша, Игорь --- меньше 8 мешков; Петя, Коля и Саша --- меньше 7 мешков. Определите, какое место занял каждый из ребят (напишите словами).
Петя __, Коля __, Саша __, Игорь __
Ответ:
Варианты ответов:
Нам дано, что Петя, Коля и Саша набрали меньше 7 мешков, но меньше шести мешков они набрать не могли, значит, они заняли последние 3 места, а Игорь был первым. Коля, Саша, Игорь получили меньше 8 мешков, но Игорь получил 4 мешка, то есть Коля и Саша получили меньше четырех мешков, но меньше трех мешков они получить не могли. Таким образом, они получили 3 мешка и заняли 3 и 4 места. Следовательно, Петя занял второе место. Теперь ответ легко следует из первого условия.
Дима, Саша, Коля, Глеб выступили на олимпиаде и заняли первые четыре места. Через год их одноклассникам по обрывочным данным удалось восстановить лишь три факта: <<Дима занял первое место или Глеб --- третье>>, <<Глеб занял второе место или Коля --- первое>>, <<Саша занял третье место или Дима --- второе>>. Кто выступил лучше --- Дима или Саша?
Ответ:
Варианты ответов:
Посмотрим на первую фразу: верно хотя бы одно из составляющих её
утверждений (могут быть верны и оба). Если Дима первый, то он точно выступил лучше Саши. Пусть Глеб третий, тогда согласно второй фразе Коля первый, а по третьей фразе Дима второй, и Саше осталось только четвёртое место.
Следовательно, Дима выступил лучше Саши.
В вазочку положили несколько конфет. Трое мальчиков их сосчитали и
по очереди сказали: <<Тут больше девяти конфет>>, <<Конфет больше
пятнадцати>>, <<Конфет в вазочке меньше двенадцати>>. При этом ровно один
из них ошибся. Какое наименьшее количество конфет могло лежать в вазочке?
Ответ:
Варианты ответов:
Высказывания <<Конфет больше пятнадцати>> и <<Конфет в вазочке меньше
двенадцати>> противоречат друг другу, следовательно, хотя бы одно из них неверное. Из трёх высказываний неверно лишь одно, значит, оставшееся высказывание <<Тут больше девяти конфет>> верно. Поэтому конфет не менее
десяти; причём десять конфет удовлетворяют условию.
Другое решение состоит в разборе трёх случаев --- когда один из мальчиков
ошибся, а два других мальчика сказали правду.
Перед началом урока учитель написал на доске какое-то целое число от 1 до 10. После этого дети по очереди сказали следующее:
Первый: <<Это число больше 1.>>
Второй: <<Это число больше 2.>>
\ldots
Девятый: <<Это число больше 9.>>
Десятый: <<Это число больше 10.>>
Одиннадцатый: <<Это число меньше 10.>>
\ldots
Двадцатый: <<Это число меньше 1.>>
Сколько раз ребята сказали правду?
Ответ:
Варианты ответов:
Рассадим детей за парты --- рядом посадим первого и двадцатого, второго и девятнадцатого и т.д. Теперь пронумеруем эти парты числами от 1 до 10. Заметим, что теперь в случае, когда записанное число совпадает с номером парты оба ученика, сидящих за ней, говорят неправду. Если же записанное число не равно номеру парты (а такое происходит в девяти случаях), один из учащихся говорит правду, а другой лжет. Таким образом, всего девять ребят сказали правду.