Выберите серию
Длина единичного отрезка треугольной сетки равна 1. На сколько периметр синего "нуля" больше периметра красной "семерки"?
Ответ:
Варианты ответов:
Периметр синей фигуры состоит из "длинного отрезка" (равного дигонали параллелограмма, составленного из шести треугольничков сетки) и семи единичных отрезков сетки. Периметр красной фигуры состоит из такого же "длинного отрезка" и трех единичных отрезков сетки. Поэтому нужная нам разность периметров равна 4.
Катя и Саша встретились в точке А. Катя прошла в точку В по красному маршруту, а Саша пробежала в точку В по синему маршруту. На сколько метров маршрут Саши длиннее, если длина отрезка треугольной сетки между соседними узлами равна 200 метров?
Ответ:
Варианты ответов:
В маршруте Кати два "длинных отрезка" (длинные диагонали ромба, составленного из двух треугольничков сетки) и один "короткий" отрезок (единичный отрезок сетки). В маршруте Саши также два длинных отрезка и шесть коротких. Значит, маршрут Саши длиннее на 5 коротких отрезков, т.е. на 5x200 = 1000 метров.
При решении этой задачи полезно обсудить: так как нам нужно по сути найти разность периметров геометрических фигур (см. задачу 4), то основная идея решения подобных задач – идея поиска равных отрезков периметра, неудобных для нахождения в ситуации задачи, длины которых при вычитании взаимно уничтожатся.
Какова площадь зеленой фигуры (в квадратных сантиметрах), если известно, что площадь единичного треугольничка треугольной сетки равна 3 квадратных сантиметра?
Ответ:
Варианты ответов:
Фигура разбивается на 2 одинаковых треугольника и параллелограмм (посередине), состоящий из 2x3x2 = 12 единичных треугольничков. Из двух одинаковых треугольников составляется параллелограмм, состоящий из 1x3x2 = 6 единичных треугольничков. Итого закрашенная площадь равна площади 18 закрашенных треугольничков. В квадратных сантиметрах это 18x3 = 54.
Основная идея при решении этой задачи – это идея разбиения на «удобные» фигуры. То есть такие, которые содержат целое число единичных элементов фигуры (в нашем случае – единичных треугольников), или из которых при сложении можно получить фигуру, состоящую из единичных элементов.
Чтобы закрасить розовую "картину" понадобилось 3 тюбика розовой краски. А сколько таких же по объему тюбиков желтой краски уйдет на покраску желтой "рамки"?
Ответ:
Варианты ответов:
Прямоугольники разбиваются на треугольнички треугольной сетки и половинки таких треугольничков. Заметив это, несложно подсчитать, что и розовая, и желтая площади составляют 12 треугольничков. Значит, желтой краски потребуется столько же, сколько и розовой.
На сколько клеток площадь оранжевой фигуры меньше площади голубой?
Ответ:
Варианты ответов:
Добавим к фигурам общую часть – получим голубой четырехугольник и оранжевый треугольник. Вокруг четырехугольника опишем прямоугольник 6x7 со сторонами, идущими по линиям сетки, при этом добавлены по два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 4, 2 и 5. Значит, площадь четырехугольника равна 6x7 - 2x4 - 2x5 = 24. У треугольника вертикальная сторона равна 7, а высота к этой стороне равна 6 значит его площадь равна 7x6 : 2 = 21. Итого, нужная нам разность площадей равна 3.
Нам нужно найти, на сколько площадь оранжевой фигуры меньше площади голубой, то есть фактически найти разность площадей SГ – SО. Заданные фигуры неправильной формы, площади которых неудобно вычислять. Но если добавить к каждой из них белый четырехугольник (значение площади которого при вычитании уничтожится), то получатся «хорошие» для вычисления площади треугольник и четырехугольник.
Таким образом первая идея, которая используется при решении этой задачи – идея добавления одной и той же (общей) части к фигурам, чтобы получить удобные для вычисления площади фигуры.
Площадь треугольника может быть найдена по основной формуле: полупроизведение стороны на высоту, проведенную к ней. И здесь вырисовывается еще одна идея, которая полезна при решении задач по геометрии: рассмотрение привычной фигуры в другой ориентации. Здесь мы треугольник рассматриваем в положении, когда сторона, к которой проводится высота, расположена вертикально, а не горизонтально.
Для нахождения площади бело-голубого четырехугольника может быть использована идея достраивания до удобной фигуры (прямоугольника, стороны которого проведены вертикально и горизонтально через вершины бело-голубого четырехугольника). Площадь построенного прямоугольника складывается из площади четырехугольника и четырех прямоугольных треугольников
В том случае, когда учащиеся еще не знают формулу площади произвольного треугольника, та же идея могут быть использованы и для нахождения площади оранжево-белого треугольника.