Пятиугольная звезда имеет 5 точек самопересечения. А какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая 7-звенная ломаная?

Рассмотрим фиксированное звено нашей замкнутой 7-звенной ломаной. Это звено не пересекает само себя и два соседних звена, а значит пересекает не более 4 звеньев. Рассуждая так для каждого звена, пониаем, что количество пар пересекающихся звеньев не более 7x4/2 =14 (деление на 2 здесь потому что каждая пара учтена в нашем подсчете дважды). Пример на рисунке показывает, что 14 точек самопересечения возможно.

При работе с данной задачей важно обратить внимание, что каждая пара линий может пересекаться в одной точке.
Надо обсудить идею подсчета возможных пересечений: для n звеньев максимальное количество пересечений можно оценить как (n(n-3))/2. 
Для этого полезно поэкспериментировать и проедположить, какая закономерность количества точек пересечения от количества звеньев ломаной. 

Частный случай для 7-звенной ломаной: (7(7-3))/2 = (7 × 4)/2 = 14.

На плоскости нарисовали точку и k кругов, не содержащих точку. Оказалось, что любая прямая, проходящая через точку, пересекает хотя бы один из этих k кругов. При каком наименьшем k такое возможно?

Ясно, что k=1 не хватит: можно провести ""отделающую"" прямую l, для которой точка и окружность - в разных полуплоскостях. Тогда прямая, проходящая через точку и параллельная l, не подходит. k=2 уже хватает - см. рис.

Петя нарисовал сетку 3x4 (см. рис.) не проходя по линиям дважды. При этом он оторвал карандаш от бумаги k раз.

При каком наименьшем k это возможно?

У нас 10 вершин, из которых выходит нечетное количество отрезков. На каждой такой вершине придется отрывать карандаш от бумаги, либо эта вершина - начало или конец обхода. Итого, у нас маршрут разбивается не менее чем на 10/2 = 5 частей. Значит, оторвать карандаш от бумаги придеться не менее 4 раз. Соответствующий пример несложно привести.

Какое наибольшее количество неперекрывающихся плиток 1x3 можно уложить в квадрат 5x5 ?

Площадь квадрата равна 25, и так как 9x3>25, то 9 и более плиток 1x3 разместить не удастся. Как можно разместить 8 плиток - показано на рисунке.

Какое наименьшее количество отрезков придется дорисовать (см. рис.), чтобы полученную фигуру можно было нарисовать одним росчерком?

Проведем один отрезок AA‘. После этого фигуру несложно обойти (стартуя с B и завершая в B‘). Остается понять, что исходную фигуру нельзя нарисовать одним росчерком. Заметим, что из вершин A, A‘, B, B‘; выходит нечетное количество ребер. Если предположить, что обход одним росчерком найдется, то каждая из этих четырех вершин должна быть началом или концом обхода - противоречие.

Каким наименьшим количеством прямых можно перечеркнуть все клетки клетчатого квадрата 3x3? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)

Одного разреза не зватит - можно показать, что один разрез пересечет не более 5 клеток. Можно показать и иначе: пусть проеведен один разрез l. Рассмотрим полуплоскость относительно l, которая содержит центр квадрата 3x3. в этой полуплоскости будет целиком лежать один из угловых квадратиков. Значит, одного разреза не достаточно. Пример с двумя разрезами - на рисунке.

Полезно обсудить следующие идеи:
Первая идея: можно ли провести прямую, которая будет пересекать все 4 угловых квадрата (в частности, в квадрате 3Х3).Нет, если провести прямую через центральную клетку (более точно – точку пересечения диагоналей) квадрата.

Вывод – прямых больше одной.

Вторая идея: определить, какое максимальное количество клеток квадрата 3х3 может пересечь прямая.

Третья идея: если одной прямой можно пересечь 5 клеток, то двух прямых должно хватить, если расположить их перпендикулярно друг другу с точкой пересечения в центральной клетке квадрата (в квадрате 9 клеток). Здесь можно использовать идею поворотной симметрии.

Четвертая идея (не является обязательной): сделать рисунок для наглядности.

Контуры двух четырехугольников пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?

Сторона первого четырехугольника пересекает контур второго не большее чем в четырех точках (не более одной точки пересечения с каждой из сторон). Итого - не более 4x4 = 16 точек пересечения. Пример с 16 точками пересечения - на рисунке.

Отрезок пересекает контур четыреугольника (не обязательно выпуклого) в k точках. Каково наибольшее значение k?

Отрезок пересекает отрезок не более чем в одной точке. Значит, в пересечении с четырьмя отрезками (сторонами четырехугольника) получается не более 4 точек пересечения. Пример для k=4 показан на рисунке.

Два контура треугольника пересекаются в k точках. Каково наибольшее значение k?

Одна сторона одного треугольника пересекается с контуром другого не более чем в 2 точках. Итого - не более 2x3 = 6 точек пересечения. Пример для k=6 несложно придумать - см. рис.

Клетчатый квадрат n x n разрезали на трехклеточные уголки. При каком наименьшем n это возможно?

Площадь n x n должна делится на 3, поэтому n должно делиться на 3. Непосредственно проверяется, что n=3 не работает. n=6 работает: квадрат 6 x 6 можно разбить на прямоугольники 2x3, а каждый из таких прямоугольников - на два уголка.

Полезно:

1) Начать решение задачи целесообразно с анализа площади: площадь квадратного поля n x n равна n². Каждый трехклеточный уголок занимает площадь 3. Поэтому первый вывод: для того чтобы квадрат можно было разрезать на уголки, необходимо, чтобы n² было кратно 3. Поэтому n=3, 6, 9 и т.д.

2) Далее проверить, возможно ли разрезать на трехклеточные уголки квадрат 3х3. Нет.

3) Обсудить ответ на вопрос: какая наименьшая фигура может быть разрезана на такие уголки? Оказывается, что прямоугольник 2х3.

4) Квадрат со стороной какой длины можно разрезать на прямоугольники 2х3? Квадрат 6х6.

Можно ли одним росчерком (не отрывая карандаш от бумаги и не проходя по линиям дважды) нарисовать фигуру на рисунке?

Пример ясен из рисунка.

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD взяли точку E. Сколько есть пятиугольников с вершинами A, B, C, D, E ?

E должна быть соединена с соседними вершинами четырехугольника. Для каждого из таких 4 вариантов пятиугольник рисуется однозначно (см. рис).

Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество клеток может перечеркнуть одна прямая? (Клетка считается перечеркнутой, если прямая делит ее на два многоугольника.)

Для определенности, можно считать, что прямая идет "вверх-вправо". Пойдем по этой прямой вверх-вправо. Если мы находимся в текущей клетке, которую пересекает прямая, то в следующую клетку будет переход вправо или вверх. Переходов вправо не более двух, аналогично переходов вверх не более двух, итого пересеченных клеток не более 1+2+2=5.

Пример для k=5 - на рисунке.

Дан клетчатый квадрат 3x3. Какое наибольшее количество неперекрывающихся доминошек 1x2 можно в нем разместить?

Площадь квадрата равна 9, и так как $5\cdot 2>9$, то 5 и более плиток $1\times 2$ разместить не удастся. Как можно разместить 4 плитки - показано на рисунке.

Отрезок пересекает контур треугольника в k точках. Каково наибольшее значение k?

Предположим, отрезок XY пересек все три стороны треугольника (во внутренних точках). Но какие-то две вершины треугольника попадут в одну полуплоскость относительно прямой XY. Тогда отрезок не пересечет сторону треугольника, соединяющую эти две вершины. Это противоречие показывает, что k<3. Для k=2 легко привести пример.