Даны два картонных прямоугольника 3 на 5 и 4 на 10. Маша положила их на стол, приложив друг к другу. То есть, площадь пересечения равна 0, и у них есть общий отрезок границы. Затем она посчитала периметр получившейся фигуры. Выберите из вариантов ниже все значения, которые Маша могла получить.

Периметр объединения равен сумме периметров минус удвоенная длина общего отрезка границы. Длина общего отрезка границы не может превосходить большей стороны первого прямоугольника, то есть 5. Значит, полученное значение меньше 2(3+5)+2(4+10)=44 и не меньше 44-2*5=34. Тогда варианты 1 и 4 невозможны. Вариант 2 возможен, если длина общего отрезка границ равна 5, а вариант 3 возможен, если длина общего отрезка границы равна 2. Убедитесь самостоятельно, что так действительно бывает.

От картонного прямоугольника с каждой стороны отрезали по полоске ширины 1. На сколько уменьшился периметр прямоугольника?

Длина каждой из четырёх сторон прямоугольника уменьшилась на 2, поэтому периметр уменьшился на 8.

Два картонных прямоугольника 1 на 9 и 1 на 16 наложили друг на друга так, что пересекаются по квадрату со стороной 1 и образуют крест. Чему может быть равен периметр полученной фигуры?

Сумма периметров исходных прямоугольников равна сумме периметров креста и квадрата в пересечении. Значит, периметр креста равен 2(1+9)+2(1+16)-4=50.

Квадрат со стороной 7 разрезали на два прямоугольника. Чему равен их суммарный периметр?

Суммарный периметр равен периметру квадрата плюс удвоенная длина отрезка разреза. А длина разреза в любом случае равна 7, поэтому суммарный периметр равен 7*4+2*7=42.

Два картонных прямоугольника 2 на 8 и 3 на 10 приложили к друг другу углом, так, что они образовали уголок как на рисунке. Чему может быть равен периметр полученной фигуры?

Если ответов несколько, то перечислите их через пробел.

Периметр объединения равен сумме периметров минус удвоенная длина общего отрезка границы. Он может быть равен 2, 3 или 8. Откуда получается три ответа: 20+26-4=32, 20+26-6=30, 20+26-16=20.

Картонный прямоугольник разрезали по прямой, проходящей через его центр. Выберите все верные утверждения.

1) Периметры полученных фигур равны.

2) Периметры полученных фигур меньше половины периметра изначального прямоугольника.

3) Периметры полученных фигур равны половине периметра изначального прямоугольника.

4) Периметры полученных фигур больше половины периметра изначального прямоугольника.

Полученные фигуры равны, значит они имеют равные периметры, то есть первое утверждение верно. С другой стороны, их суммарный периметр строго больше периметра исходного прямоугольника, поэтому периметр каждой из фигур больше половины периметра прямоугольника. То есть из утверждений 2, 3 и 4 верно последнее.

Пятиклеточная фигура, изображенная на рисунке называется U-пентамино. Сколькими способами можно добавить одну клетку к U-пентамино, так, чтобы периметр фигуры уменьшился?

Только одним, нужно добавить клетку, дополняющую пентамино до прямоугольника 2 на 3.

Сколькими способами можно вырезать из клетчатого квадрата 5\times 5 одну из шестнадцати клеток его границы так, чтобы периметр фигуры увеличился? Способы, отличающиеся поворотом и симметрией , считаются различными.

Вырезание угловой клетки не меняет периметр. Вырезание клетки на стороне увеличивает периметр на 2, таких клеток 12.

Даны три многоугольника площадей 11, 16 и 23. Известно, что площадь пересечения любых двух из них равна 5, а пересечение всех трёх - пусто. Чему равна площадь объединения этих многоугольников?

Способ 1. Области пересечения двух многоугольников покрыты фигурами в два слоя. И никакая область не покрыта трижды. Значит, сумма площадей многоугольников равна сумме площадей объединения и их попарных пересечений. Тогда можно вычислить площадь объединения: она равна 11+16+23-5-5-5=35. Способ 2. Разобьем объединение на части. Пусть часть А(12) - пересечение первого и второго многоугольников, часть А(23) - пересечение второго и третьего, а часть А(13) - пересечение первого и третьего. По условию площади всех этих частей равны 5. Остались части плоскости, принадлежащие только одному многоугольнику. Пусть часть плоскости, принадлежащая только первому многоугольнику,- это А(1), только второму - А(2), а только третьему - А(3). Найдём площади этих частей. Первый многоугольник состоит из частей А(12), А(13) и А(1). Значит, его площадь равна сумме площадей этих частей. Отсюда можно найти площадь части А(1), она равна 10-5-5=1. Аналогично, второй многоугольник разбивается на 3 части, откуда находим площадь А(2) - она равна 16-5-5=6. А площадь части А(3) равна 23-5-5=13. Чтобы найти площадь объединения, осталось сложить все найденные площади частей: 5+5+5+1+6+13=35.

Даны два картонных прямоугольника 3 на 5 и 4 на 10. Маша как-то положила их на стол и посчитала площадь получившейся фигуры - объединения двух прямоугольников. Выберите из вариантов ниже все значения, которые Маша могла получить. 1)35; 2)40; 3)45; 4)60.

Ясно, что площадь объединения не может быть меньше площади второго прямоугольника, то есть 40. Значит, первый вариант невозможен. Второй вариант возможен, если поместить первый прямоугольник полностью внутрь второго. Третий вариант возможен, если расположить их там, чтобы в пересечении был прямоугольник 1 на 5. Также, площадь объединения не может быть больше суммы площадей прямоугольников, то есть больше 55. Значит, четвертый вариант невозможен.

Даны два многоугольника площадей 40 и 82. Известно, что площадь объединения равна 100. Чему равна площадь пересечения этих многоугольников?

Способ 1. Область пересечения покрыта многоугольниками в 2 слоя. Значит, сумма площадей многоугольников равна сумме площадей их объединения и пересечения. Тогда можно найти площадь пересечения: она равна 40+82-100=22. Способ 2. Разобьем объединение на 3 части: А, Б и В. А именно: пусть часть Б - это пересечение. Часть А - часть первого многоугольника, не лежащая во втором. А часть В - часть второго многоугольника, не лежащая в первом. Требуется найти площадь части Б. Площадь объединения равна сумме площадей первого многоугольника и площади части В. Значит, площадь части В равна 100-40=60. Второй многоугольник можно разбить на части Б и В. Значит, его площадь равна сумме площадей частей Б и В. Тогда можно найти площадь части Б. Она равна 82-60=22.

Два одинаковых прямоугольника 6\times 8 положили на стол так, что они пересекаются и образуют общую область в форме квадрата со стороной 2. Чему равна площадь объединения этих прямоугольников?

Способ 1. Площадь одного прямоугольника равна 6*8=48, а площадь пересечения равна 4. Область пересечения покрыта прямоугольниками в 2 слоя. Значит, сумма площадей прямоугольников равна сумме площадей их объединения и пересечения. Тогда можно найти площадь объединения: она равна 48+48-4=92. Способ 2. Разобьем объединение на 3 части: А, Б и В, как на схеме. А именно: пусть часть Б - это пересечение. Часть А - часть первого прямоугольника, не лежащая во втором. А часть В - часть второго прямоугольника, не лежащая в первом. Посчитаем площади всех частей отдельно. Площадь одного прямоугольника равна 6*8=48, а площадь пересечения равна 4. Первый прямоугольник состоит из частей А и Б. Значит, площадь части А равна 48-4=44. Аналогично, площадь части В равна 48-4=44. Чтобы получить площадь объединения, осталось сложить площади всех частей: 4+44+44=92.

Из картонной фигуры площади 314 отрезали кусочек в форме квадрата со стороной 5. Найдите площадь оставшейся части.

Площадь отрезанной части равна 25, значит, площадь оставшейся равна 314-25=289.

У Пети есть картонный круг диаметра 2, а у Маши картонный квадрат с диагональю 2. Площадь чьей фигуры больше?

Квадрат с диагональю длины 2 можно поместить внутрь круга с диаметром 2, поэтому площадь круга меньше.

У Пети есть картонный круг диаметра 2, а у Маши картонный квадрат со стороной 2. Площадь чьей фигуры больше?

Круг диаметра 2 можно поместить внутрь квадрата со стороной 2, поэтому площадь круга меньше.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=4$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap B\cap C|3$ и $|A\cup B\cup C|=29$. Найдите $|A\cap C|$

Дети, выучившие первое и третье стихотворения, это трое ребят, выучившие все три стихотворения, и те, кто выучил первое и третье, но не выучил второе. Посчитаем их количество. Рассмотрим детей не выучивших 2 стихотворение. Всего их $29-15=14$. Из них $15-4=11$ выучили первое, а $15-5=10$ --- третье, и каждый выучил хоть что-то. Нужно найти количество тех из них, кто выучил и первое и третье. Из этих 14 детей 10 выучили третье, значит оставшиеся 4 --- только первое. Тогда из тех, кто выучил первое, 4 выучили только первое, значит остальные 7 выучили и третье. То есть среди не выучивших второе 7 детей выучили первое и третье. Итого детей выучивших первое и третье стихотворения $3+7=10$ человек.

Каждый из 29 учеников 7Б класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят. При этом и первое, и второе выучили 4 человека, а второе и третье --- 5 человек. Сколько детей выучили и первое, и третье стихотворение, если известно, что трое выучили все три?