Число $n!$ не может оканчиваться на: 21, 22, 23, 24, 25 нулей (отметьте нужное).

100! оканчивается на 24 нуля. 99! оканчивается на 22 нуля. 

Значит, что число $n!$ не может оканчиваться на 23 нуля.

На сколько нулей оканчивается число $100!$?

Ноль появляется из произведения 2 и 5.

Посчитаем количество пятёрок, которые входят  в разложение числа 100! на простые множители. Двоек будет больше. 

Среди чисел от 1 до 100 всего 20 чисел содержат пятерки.

Числа 25, 50, 75 и 100 дают сразу две пятёрки.

Получим 24 пятерки.

Вы отмерили $10!$ секунд. А сколько это в неделях?

1 сутки = $24\cdot 60\cdot60=86400=2^7\cdot3^3\cdot5^2$

$10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$

Получаем 42 дня или 6 недель. 

Мама поставила кухонный таймер на $10!$ секунд. Через сколько недель он прозвенит?

В каждой клетке квадрата $3\times 3$ написана цифра от 1 до 9. Цифры не повторяются. Сколько существует таких квадратов? Варианты, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Здесь нужен точный ответ без знака факториала.

Ответ: 9!

Решение. Пронумеруем все девять клеток числами от 1 до 9 (всё равно как). В первую клетку можно положить любую из девяти конфет (итого 9 способов). Во вторую --- любую из оставшихся восьми конфет (8 способов). В третью --- любую из оставшихся семи конфет (7 способов), и т.д. Эти способы необходимо перемножить. Получается 9!

Васе подарили на день рождения коробку с 9 разными конфетами, уложенными в виде квадрата 3 на 3. Он высыпал их из коробки, но мама попросила сложить обратно. Сколько вариантов вернуть конфеты обратно в коробку? Варианты, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными.

На дискотеку пришли 15 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами из них можно сформировать 14 пар для танцев, если в каждой паре должны быть мальчик и девочка?

Пронумеруем гостей. Первому гостю можно дать любой из 15 кексов. Второму --- любой из 14 оставшихся, третьему --- любой из 13 оставшихся, и т.д. Последний кекс никому из гостей не достанется (возможно, Вася его съест сам). Перемножая полученные числа, находим ответ 15*14*...*3*2=15!

На день рождения к Васе пришло 14 гостей, а Вася испёк для них 15 разных кексиков. Сколькими способами Вася может угостить своих гостей, дав каждому по одному кексу?

На дискотеку пришло 15 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для танцев, если в каждой паре должны быть мальчик и девочка?

Рассадим всех девочек за 15 пронумерованных столов. 

Мальчик может подойти к любой из 15 девочек. Первый сможет это сделать 15 разными способами. второй - 14, третий -13 и так далее.

Получим все возможные расстановки. 

$15\cdot14\cdot 13\cdot...\cdot 1=15!$

В честь своего дня рождения Вася хочет испечь кексики для гостей. Он приготовил 15 видов теста и взял 15 различных силиконовых формочек для него. Сколько способов у Васи испечь 15 кексов, если все кексы должны быть разной формы и из разных видов теста?

Сколькими способами можно расставить на доске $8 \times8$ восемь ладей так, чтобы никакие две ладьи не стояли на одной горизонтали или на одной вертикали?

Решение 1. Заметим, что в каждой строке и в каждом столбце должно стоять по одной тарелке. Пронумеруем горизонтали. На первую горизонталь можно поставить тарелку в любую клетку. На вторую нельзя ставить тарелку в ту вертикаль, в которой уже стоит первая тарелка (итого семь разрешённых мест). На третьей горизонтали получается 6 разрешённых мест (две вертикали уже заняты поставленными тарелками), и т.д. Перемножая эти числа, получаем 8! способов.

Решение 2. Первую тарелку можно поставить на любую из 64 клеток. Вторую нельзя ставить на горизонталь или на вертикаль, на которых уже стоит первая тарелка --- остаётся 49 клеток. Третью тарелку можно поставить 36 способами, и т.д. Перемножая эти числа, получим 64*49*36*25*16*9*4*1=(8!)^2 способов. Но это верно, только если тарелки пронумерованы. Если такой нумерации нет и тарелки считаются одинаковыми, то каждый способ сосчитан столько раз, сколькими способами можно пронумеровать 8 тарелок. А это 8! способов. Итого получаем ответ: (8!)^2/8!=8! способов.

Пока папа готовит плов, Вася пытается расставить на доске $8\times 8$ восемь ладей так, чтобы никакие две ладьи не стояли на одной горизонтали или на одной вертикали. Сколькими способами он может это сделать?

Сколькими способами 15 учеников могут выстроиться в очередь в столовую?

Первым в очереди может стоять любой из 15 детей. Вторым --- любой из 14 оставшихся детей, третьим --- любой из 14 оставшихся, и т.д. Перемножив эти варианты, получим 15!

Сколькими способами 15 детей могут выстроиться в очередь за кексиками в день рождения Васи?

В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Пронумеруем стулья. За первый стул можно посадить любого из 17 гостей. За второй – любого из 16 оставшихся гостей. За третий – любого из 15 ещё стоящих гостей, и т.д. Перемножив все эти варианты, получим ответ 17!

За обедом сегодня 17 гостей. Вася расставил 17 стульев вокруг стола, а сколькими способами гости могут рассесться на этих стульях, если на каждом месте стоят уникальные блюда?

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ТРЕУГОЛЬНИК"?

Заметим, что все буквы разные. На перое место мы можем поставить любую из 11 букв. На второе --- любую из 10 оставшихся букв, на третье --- любую из 9 оставшихся букв, и т.д. Перемножив все эти способы, получим ответ 11!.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "БУТЫЛОЧНИЦА"?

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "СТРОЧКА"?

Заметим, что все буквы разные. На перое место мы можем поставить любую из семи букв. На второе --- любую из шести оставшихся букв, на третье --- любую из пяти оставшихся букв, и т.д. Перемножив все эти способы, получим ответ 7!=5040.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ДУХОВКА"?

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ТОЧКА"?

Заметим, что все буквы разные. На перое место мы можем поставить любую из пяти букв. На второе --- любую из четырёх оставшихся букв, на третье --- любую из трёх оставшихся букв, и т.д. Перемножив все эти способы, получим ответ 5!=120.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ПЛИТА"?

Назовём число "красивым", если в нём все цифры разные и нечётные. Сколько существует четырёхзначных красивых чисел?

Ответ: 5!=120. На первое место можно поставить любую из пяти нечётных цифр, на второе --- любую из оставшихся четырёх, на третье --- любую из трёх оставшихся цифр, и наконец, последнюю цифру можно выбрать двумя способами. Получается $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$ способов.

Назовём число красивым, если в нём все цифры разные и нечётные. Сколько существует пятизначных красивых чисел?

Ответ: 5!=120. На первое место можно поставить любую из пяти нечётных цифр, на второе – любую из оставшихся четырёх, и т.д. Получается $5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$ способов.

Заполните пропуски в решении задачи "Сколькими способами можно поставить в ряд 10 человек?". Есть __ вариантов поставить кого-то на первое место. После этого есть __ вариантов поставить кого-то на второе место. Эти числа нужно __, потому то на каждый из вариантов поставить первого есть __ вариантов поставить второго. На третье место есть __ вариантов поставить человека, и т.д. Получается ответ: __

Вася помогает маме прибраться на кухне и поставить в ряд 10 баночек со специями.
Заполните пропуски в размышлениях Васи:
- Есть __ вариантов поставить какую-то баночку на первое место.
- После этого есть __ вариантов поставить какую-то баночку на второе место.
- Эти числа нужно __ , потому что на каждый из вариантов поставить первую есть __ вариантов поставить вторую.
- На третье место есть __ вариантов поставить баночку, и т.д.
- Получается ответ: __

В стране пять городов, и между каждыми двумя есть дорога. Путешественник хочет начать в каком-то из городов и проехать через все города, посетив каждый по одному разу. Сколько у него способов это сделать?

Ответ: 5!=120 способов. Выберем сначала любой из пяти городов (пять вариантов). На каждый такой выбор есть четыре варианта выбора второго города. На каждый из 5*4=20 способов выбрать первые два города есть три способа выбрать третий город. Затем --- два способа выбрать предпоследний город. Последнее место для посещения выбирается однозначно. Итого получается $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5!=120$ способов.

Во время завтрака Вася заметил на холодильнике магниты из Майкопа, Краснодара, Сочи, Кисловодска и Пятигорска.
Вася решил, что тоже посетит все эти города летом по одному разу, начав с любого и переезжая между ними на автобусе. Он точно знает, что из каждого города до любого другого можно доехать на автобусе напрямую. Сколькими способами Вася сможет организовать такой маршрут?

У коробок с соком разные цвета крышечек: у яблочного сока - зелёная, у виноградного - фиолетовая, у гранатового - красная, у мультифрукта - жёлтая. На обеде все соки были открыты. Сколькими способами можно закрыть соки имеющимися крышечками?

Сначала выберем, какой сок закроем зеленой крышкой, затем -- какой сок закроем фиолетовой, затем выберем какой сок закроем красной крышкой. Четвертой крышке останеться единственная коробка. Все эти способы будут различными, для каждого варианта выбора первой коробки подойдет любой из вариантов выбора второй, а для них  --- любой из вариантов выбора третьей. Поэтому нужно посчитать сколько вариантов для каждой крышки при последовательном закрытии коробок и перемножить их. Получаем $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$.

Сколькими способами можно расставить в шеренгу четыре человека?

Это можно сделать 24 способами. Самой левой может быть любая из четырёх коробок, следующая – любая из трёх оставшихся. Эти количества способов необходимо перемножить (т.к. на каждый из четырёх способов поставить самую левую коробку с соком найдётся три способа поставить следующую коробку). Третью коробку с соком можно поставить двумя способами, и последнюю – одним. Итого получается 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 способа.

На дверной полке холодильника помещается 4 коробки с соком. Мама попросила поставить на полку яблочный, виноградный, гранатовый и мультифрукт. Сколькими способами это можно сделать?

У Васи есть мороженое, пирожное и торт. У него выбор --- в каком порядке есть сладости. А сколько бывает таких порядков?

Таких порядков всего 6. Их можно перечислить вручную: МПТ, МТП, ПМТ, ПТМ, ТМП, ТПМ. А можно рассуждать так. Есть три варианта, что именно съесть в первую очередь (морожение, пирожное или торт). После съедания первой сладости есть два варианта, что будет съедено следующим. Эти числа необходимо перемножить, т.к. на каждый из трёх вариантах съесть сладость в первую очередь есть два варианта, что из оставшегося съесть следом. Оставшаяся сладость будет съедена в последнюю очередь.

Перед Васей мороженое, пирожное и кусочек торта. Вася выбирает, в каком порядке съесть сладости. А сколько существует таких порядков?