Задачи серии

ОтПротивного13

Условие

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Дизайн условия

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

ОтПротивного12n

Условие

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Дизайн условия

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно.

ОтПротивного12

Условие

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Дизайн условия

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно.

ОтПротивного11n

Условие

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Дизайн условия

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек.

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.

ОтПротивного11

Условие

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Дизайн условия

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек.

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.

ОтПротивного10n

Условие

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

Дизайн условия

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

*Решение.*

__ противное.

Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."

Следовательно любая девочка сидит напротив __.

Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.

Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.

ОтПротивного10

Условие

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

Дизайн условия

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

*Решение.*

__ противное.

Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."

Следовательно любая девочка сидит напротив __.

Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.

Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.