От картонного прямоугольника с каждой стороны отрезали по полоске ширины 1. На сколько уменьшился периметр прямоугольника?

Два картонных прямоугольника 2 на 8 и 3 на 10 приложили к друг другу углом, так, что они образовали уголок как на рисунке. Чему может быть равен периметр полученной фигуры?

Если ответов несколько, то перечислите их через пробел.

Картонный прямоугольник разрезали по прямой, проходящей через его центр. Выберите все верные утверждения.

1) Периметры полученных фигур равны.

2) Периметры полученных фигур меньше половины периметра изначального прямоугольника.

3) Периметры полученных фигур равны половине периметра изначального прямоугольника.

4) Периметры полученных фигур больше половины периметра изначального прямоугольника.

Пятиклеточная фигура, изображенная на рисунке называется U-пентамино. Сколькими способами можно добавить одну клетку к U-пентамино, так, чтобы периметр фигуры уменьшился?

Забор (на плане показан зеленым) ограничивает шестиугольный участок. Найдите площадь этого участка (в квадратных метрах), если площадь одной клетки равна 25 кв. м.

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. 
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.  Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.