В игре на биляьрде в 6 луз забили 15 шаров. При каком наибольшем k верно утверждение: обязательно найдется луза, в которую забили не менее k шаров.

Играя в бильярд, в 6 луз забили 15 шаров. При каком наибольшем $k$ верно утверждение: обязательно найдется луза, в которую забили не менее $k$ шаров.

Известно, что в мешке лежат кубики четырех разных цветов: красного, синего, зеленого и желтого. Какое наименьшее число кубиков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два кубика одного цвета?

Замок состоит из 81 комнаты в форме квадрата 9×9. В некоторых стенах между соседними комнатами есть дверь (одна). Дверей наружу нет, зато в каждой комнате имеется две или три двери. Сколько комнат, в которых есть ровно три двери:

В классе в день Святого Валентина мальчики дарили валентинки девочкам. Всего в классе 12 мальчиков и 16 девочек. Каждый мальчик подарил пяти девочкам валентинки с признанием в любви. Семь девочек получили поровну валентинок, а все остальные девочки по две валентинки. А по сколько валентинок получили оставшиеся семеро девочек?

На балу мальчики танцевали с девочками. После бала каждый мальчик (кроме Игоря, он скромно промолчал) похвастался, что танцевал то ли с 6, то ли с 12 девочками. А каждая девочка призналась, что танцевала с тремя или шестью мальчиками. А с каким количеством девочек танцевал Игорь, если известно, что это количество от семи до десяти включительно?

В прямоугольной таблице отмечено несколько клеток. В половине всех строчек отмечено по две клетки, в остальной половине - по три клетки. В каждом из 20 столбцов отмечено по четыре клетки. Сколько строк в таблице?

В школе 380 детей. Каждый мальчик дружит с 5 мальчиками и 10 девочками из этой школы, а каждая девочка – с 9 мальчиками и 6 девочками из этой школы. Кого больше в школе – мальчиков или девочек? На сколько?

Заполните пропуски в ответе:

Больше __ (м - мальчиков или д - девочек).

На __ (укажите число - на сколько их больше).

Каждый из 10 мальчиков подарил по три цветочка девочкам. Сколько было девочек, если каждой досталось по 2 цветочка?

В классе 10 девочек и 9 мальчиков (потому что на десять девчонок по статистике девять ребят). На 8 марта каждый мальчик подарил по одной розе каждой девочке. Сколько роз получили девочки?

Забор (на плане показан зеленым) ограничивает шестиугольный участок. Найдите площадь этого участка (в квадратных метрах), если площадь одной клетки равна 25 кв. м.

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. 
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.  Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. 
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.  Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно. 

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно. 

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек. 

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.  

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек. 

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.