\justifying \large
\begin{frame} { олимп03 }
Буквы в слове МАТЕМАТИКА были сложены в коробку. Каков шанс получить букву А?
\end{frame}\begin{frame} { олимп02 }
Лена украсила каждое из своих 24 печений. Она украсила 15 печений зеленым цветом и 13 печений синим цветом. Сколько печений было украшено как зеленым, так и синим цветом?
\end{frame}\begin{frame} { олимп01 }
Найдите сумму 1+3+⋯+97+99.
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-08 }
На столе лежат четыре яблока, массой 90, 100 и 115 и 130 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яблока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт ещё одно. Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть больше Васи?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-07 }
На шахматной доске, на поле В2, стоит чёрный конь, а на поле D7 - белый король. Петя должен походить конём, затем конём походит Вася. Вася хочет объявить королю шах, а Пете жаль короля, и он хочет помешать Васе. Какой ход следует сделать Пете?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-06 }
На столе лежат три яблока, массой 90, 100 и 110 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яюлока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт третье. Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть боьлше Васи?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-05 }
На столе лежат три яблока, массой 90, 100 и 210 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яюлока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт третье. Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть боьлше Васи?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-04 }
На столе - куча из 100 конфет. Сперва Петя берёт некоторое количество конфет (от 1 до 5). Затем то же самое делает Вася. Вася хочет походить так, чтобы после его хода отсалось n конфет (вне зависимости от хода Пети). При каких n Васе удастся осуществить задуманное?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-03 }
На столе - куча из 100 конфет. Сперва Петя берёт и ест от 1 до 5 конфет (на своё усмотрение). Затем Вася съедает от 1 до 5 конфет (тоже на своё усмотрение). Петя хочет, чтобы после хода Васи в куче было любое количество конфет, но не 93. Сколько конфет нужно съесть Пете? Перечислите все варианты.
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-02 }
Чёрный конь стоит на клетке В1, а на клетке В5 стоит белый король. Петя должен походить конём, но так, чтобы король не оказался под шахом. На какую клетку нужно походить Пете?
\end{frame}\begin{frame} { Один ход-01 }
Конь стоит на клетке С2. Сколько ходов есть у коня?
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 8 }
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $\text{НОК}(а, b) - \text{НОД}(а, b) = ab/5$.
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 7 }
Наибольший общий делитель натуральных чисел $a$ и $b$ равен $20$,
а наименьшее общее кратное натуральных чисел $a$ и $b$ равно 700.
Найдите $a+b$.
\begin{frame} { Общие делители 6 }
Наименьшее общее кратное натуральных чисел $a$ и $b$ равно 100, а наименьшее общее кратное натуральных чисел $b$ и $c$ равно $98$. Чему может быть равно наименьшее общее кратное чисел $a$ и $c$?
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 5 }
Наибольший общий делитель натуральных чисел $n$ и $100$ равен $20$,
а наименьшее общее кратное натуральных чисел $n$ и $100$ равно 700.
Найдите $n$.
\begin{frame} { Общие делители 4 }
Наибольший общий делитель чисел $100$ и $n>100$ равен 10. Найдите самое маленькое возможное значение $n$.
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 3 }
Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел $2n$ и $3n+3$?
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 2 }
Сколько общих делителей у чисел $200$ и $300$?
\end{frame}\begin{frame} { Общие делители 1 }
Найдите все возможные общие делители чисел $54$ и $72$.
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод15 }
В начале времен на острове Буяне жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других жителей. Сейчас на острове Буяне остался всего один житель. Кто это?
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод14 }
Двоечник Федя выставляет (по одной) шашки на клетки доски $10\times 10$ для стоклеточных шашек. Докажите, что в какой-то момент одна из шашек сможет съесть другую шашку.
*Решение.*
Рассмотрим __, когда незанятых клеток осталось ровно __.
Тогда одна из шашек __ побить шашку, стоящую рядом со свободной клеткой.
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод13 }
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата бóльшего размера.
Восстановите решение задачи, заполнив пропуски словами:
1) больший, большого, больших или просто буквой *б*;
2) меньший, малого, меньших или просто буквой *м*.
*Решение*
Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины __ квадрата.
Тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины __.
Но, начиная прыгать из вершин бóльшего квадрата, они всегда будут попадать в узлы другой сетки, состоящей из __ квадратов.
Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона __ квадрата. Противоречие.
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод12 }
Максим задумал целое число. Ирина умножила его не то на 5, не то на 6. Даша прибавила к результату Ирины не то 5, не то 6. Рената вычла от результата Даши не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Максим? Перечислите все возможные варианты.
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод11 }
На доске написана буква. Каждую минуту Вася делает следующее:
если на доске написана гласная, он пишет вместо неё следующую по алфавиту согласную,
а если согласная – следующую по алфавиту гласную.
_Например, вместо А он пишет Б, а вместо К – букву О._
Через 4 минуты на доске оказалась буква Ф.
Какая буква могла быть написана на доске сначала?
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод10 }
В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?
\begin{frame} { ОбратныйХод09 }
По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод08 }
Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод07 }
Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
Ответ:
У Пети было __ фантиков,
у Вани было __ фантиков,
у Толи было __ фантиков.
\end{frame}
\begin{frame} { ОбратныйХод06 }
Найдите неизвестное значение *$x$* из равенства
*$998 + 17 \cdot ( 171 - 1862 : x ) = 2239$*.
\end{frame}\begin{frame} { ОбратныйХод05 }
Оля, Коля и Толя пришли в столовую. Коля съел половину всех пончиков, после чего продавщица отложила один пончик для директора столовой. После этого Толя съел половину оставшихся пончиков. Увидев это, продавщица отложила один пончик себе, после чего Оля доела оставшиеся два пончика. Сколько пончиков съел Толя? А Коля?
Ответ:
Толя – __;
Коля – __.
\end{frame}