Выберите серию
Перед Петей и Васей есть две кучи, по 100 конфет в каждой. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять любое число конфет, но из одной кучи. Прогрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами две кучи из $k$ и $n$ конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).
Позиция (0,0) (когда конфет не осталось ни в одной из кучек, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции $(0,k)$ и $(k,0)$ - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию (0,0)). Позиция (1,1) - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции (0,1) или (1,0)). Позиции $(1,k)$ и $(k,1)$ при $k>1 - __ (из них можно получить позицию (1,1)). Продолжая далее, заметим, что позиции $(n,k) с равными $n$ и $k$ - __, а с неравными $n$ и $k$ - __. Так как (100,100) - позиция с равным количеством конфет в долях, то выиграет __.
Ответ:
Варианты ответов:
Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Прогрывает тот, кто съест последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).
Позиция 1 (когда осталась 1 конфета, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 2 до 6 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 1). Позиция 7 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 2 до 6). Позиции 8-12 - __ (из них можно получить позицию 7). Продолжая далее, заметим, что позиции, дающие остаток 1 при делении на 6 - __, а дающие все остальные остатки при делении на 6 - __. Так как 100 не даёт остаток 1 при делении на 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).
Ответ:
Варианты ответов:
Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).
Позиция 0 (когда осталось 0 конфет, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 1 до 5 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 0). Позиция 6 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 1 до 5). Позиции 7-11 - __ (из них можно получить позицию 6). Продолжая далее, заметим, что позиции, кратные 6 - __, а не кратные 6 - __. Так как 100 не кратно 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).
Ответ:
Варианты ответов:
Ладья стоит на поле А1 шахматной доски. Петя и Вася по очереди перемещают эту ладью. Начинает Петя, за ход можно переместить ладью на любое количество клеток вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Петя переместил ладью на А7. Какой ход должен сделать Вася для выигрыша?
Ответ:
Варианты ответов:
После такого хода Петя сможет походить либо на G8 (с последующим ходом на Н8), либо на Н7 (также с последующим ходом Васи на Н8). В любом случае Вася выигрывает. Все остальные ходы являются проигрышными для Васи.
На столе лежат две кучи по 10 конфет. Петя и Вася по очереди берут конфеты. Начинает Петя. За один ход можно взять сколько угодно конфет, но только из одной кучи. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Петя первым делом взял 9 конфет из первой кучи. Как должен действовать Вася, чтобы победить? Он должен взять __ конфет из __ кучи.
Ответ:
Варианты ответов:
Если Вася возьмёт 9 конфет из второй куче, то в каждой куче останется по одной конфете. За один ход из этой позиции выиграть (для этого нужно есть сразу из двух куч, что запрещено),а за два хода игра гарантированно закончится (за каждый ход нужно что-нибудь взять). Значит, Вася выиграет.
Это единственный ход, выигрышный для Васи. (Почему?)