Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Верно. Предположим противное. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого треугольника.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника меньше $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.  

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна 0. Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно $\pm 1$. Пусть $k$ из них равны $1$, а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$. Но тогда произведение всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного

1) Сформулировать отрицание утверждения. 

2) Провести рассуждение в сделанных предположениях. 

3)  Найти противоречие с условием задачи

4) Понять, что предположеение ложно

5) Сделать вывод! 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Нельзя. Предположим противное. Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них. В самой маленькой кучке лежит не менее одного шара. В следующей --- не менее двух шаров. В следующей --- не менее трех. В четвертой --- не менее четырёх. В пятой --- не менее пяти шаров.  Таким образом в сумме должно быть не менее $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

Важная мысль

Упорядочить кучи по количеству шариков.

При этом важно помнить о неравенстве.

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

Не могло. Предположим противное. Тогда  при такой расстановке имеются 10 различных сумм: четыре по строкам, четыре по столбцам и две по диагоналям. Эти суммы могут 

принимать целые значения от $-4$ до $4$. Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Предположим противное. Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до 34. Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми 34-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми 34-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга. Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к противоречию.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

Количество различных вариантов совпадает с числом учащихся. Нужны дополнительные рассуждения, о  возможности наступления конретных вариантов одновременно.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

Предположим противное. Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим отрицание к утверждению задачи:

"Среди шариков нет ни  8 одноцветных, ни 8 разноцветных."

Таким образом различных цветов не более 7 и шариков каждого конкретного цвета не более 7. То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

Предположим противное и то, что нужно доказать не верно. Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более четверых учеников 7"В". То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это противоречит условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

Нужно обратить внимание детей на корректное построение отрицаний в неравенствах.

Не более, не менее. Рассуждение в стиле "ровно распределим  по 4 ученика  в каждый день недели" нужно избегать

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. 
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Предположим противное и то, что нужно доказать не верно. Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кросовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет левых. То есть, все 11 кроссовок правые. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.  Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Нельзя. Предположим противное. Посчитаем сумму чисел в таблице двумя способами: 

по строкам и по столбцам. Первым способом получим, что эта сумма равна 550. Вторым --- 600. Но у нас должно получиться одно и то же число. Мы пришли к противоречию. 

Значит наше исходное предположение ложно. 

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно. 

Важная идея в задачах на доказательство и построение невозможности ситуации изучить, в данном случае посчитать одно и то же разными методами.

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Нельзя. Предположим противное. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек. 

Тогда она содержала бы $2k=63$ клеток. Мы пришли к противоречию. Следовательно наше предположение не верно.  

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек. 

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.  

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

Предположим противное. Построим отрицание утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика." Следовательно любая девочка сидит напротив девочки. 

Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков. Тогда общее число мальчиков $2k=15$. Что невозможно. 

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки. 

*Решение.*

__ противное.

Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."

Следовательно любая девочка сидит напротив __. 

Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.

Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно. 

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.

Схема рассуждений в задачах на доказательство методом от противного

1) Сформулировать отрицание утверждения. 

2) Провести рассуждение в сделанных предположениях. 

3)  Найти противоречие с условием задачи

4) Понять, что предположеение ложно

5) Сделать вывод! 

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если африканский зверь быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."

У него получилось:

"__ быстрый, __, голодный и __ африканский зверь."

Понятие "африканский зверь" не конкретно и описывает множество зверей. 

Поэтому в утверждении негласно присутсвует квантор ВСЯКИЙ (ЛЮБОЙ, КАЖДЫЙ):

"Для каждого африканского зверя верно: если он быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."

Напомним правила построения отрицаний для утверждений вида "Если A, то Б."

Это утверждение равносильно утверждению: "Не А или Б." Таким образом, исходное утверждение равносильно такому:

"Для каждого африканского зверя верно: он либо не быстрый, либо слабый,  либо сытый, либо добрый."

Вспоминаем правила построения отрицания: меняем КАЖДЫЙ (ВСЕ) на НАЙДЕТСЯ (НЕКОТОРЫЙ) и наоборот; И на ИЛИ и наоборот.

Получаем ответ: "Найдется быстрый, сильный, голодный и злой африканский зверь." 

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если Лев Игнатий быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."

При сохранении порядка следования свойств у него получилось:

"Лев Игнатий __, __, __ и __"

Напомним правила построения отрицаний для утверждений вида "Если A, то Б."

Это утверждение равносильно утверждению: "Не А или Б." Таким образом, 

важно запомнить, что отрицание НЕ СОДЕРЖИТ ЕСЛИ!!! И выглядит так: "А и не Б."

Таким образом, правильный ответ: "Лев Игнатий быстрый, сильный, голодный и злой."

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если африканский зверь хищник, то он быстро бегает."

У него получилось: "__ африканский зверь __, который бегает __."

Понятие "африканский зверь" не конкретно и описывает множество зверей. 

Поэтому в утверждении негласно присутсвует квантор ВСЯКИЙ (ЛЮБОЙ, КАЖДЫЙ):

"Для каждого африканского зверя верно: если он хищник, то быстро бегает."

Напомним правила построения отрицаний для утверждений вида "Если A, то Б."

Это утверждение равносильно утверждению: "Не А или Б." Таким образом, исходное утверждение равносильно такому:

"Для каждого африканского зверя верно: либо он не хищник, либо он быстро бегает."

Вспоминаем правила построения отрицания: меняем КАЖДЫЙ (ВСЕ) на НАЙДЕТСЯ (НЕКОТОРЫЙ) и наоборот; И на ИЛИ и наоборот.

Получаем ответ: "Найдется африканский зверь хищник, который бегает не быстро." 

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если шакал Тимофей – хищник, то он быстро бегает."

У него получилось:

"Шакал Тимофей – __ и он бегает __."

Напомним правила построения отрицаний для утверждений вида "Если A, то Б."

Это утверждение равносильно утверждению: "Не А или Б." Таким образом, 

важно запомнить, что отрицание НЕ СОДЕРЖИТ ЕСЛИ!!! И выглядит так: "А и не Б."

Поэтому ответ: "Шакал Тимофей хищник и бегает не быстро." 

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Каждый африканский зверь имеет усы, лапы и хвост."

У него получилось:

"__ африканские звери, у которых нет __ усов, __ лап,__ хвоста."

Напомним правила построения отрицаний: все И меняем на ИЛИ и наоборот.

Таким образом, меняем КАЖДЫЙ на НАЙДУТСЯ, И на ЛИБО и получаем: 

Найдутся африканские звери, у которых нет либо усов, либо лап, либо хвоста.

Умение строить отрицание. Менять кванторы, логические И и ИЛИ

Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.
Кирилл построил отрицание утверждения: "ВСЕ африканские звери большие?"

_Вместо слова "существует" далее можно указать "С", вместо слова "все" - "В", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._

У него получилось: "В Африке __ __ зверь."

Альтернативой тому, что в Африке все звери большие, будет наличие по крайней мере одного маленького зверя. 

Напомним общее правило построения отрицаний: меняем КАЖДЫЙ (ВСЕ) на НАЙДЕТСЯ (НЕКОТОРЫЙ) и наоборот. 

Оттачивается умение строить противоположные утверждения. 

Умение правильно расставлять кванторы всеобщности и существования. 

Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.

Кирилл построил отрицание утверждения: "НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие." 

_Вместо слова "все" далее можно указать "В", вместо слова "некоторые" - "Н", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._

У него получилось: "__ африканские звери __ ." Заполните пропуски.

Наше утверждение верно, если в Африке есть по крайней мере один большой зверь. 

Значит для отрицания необходимо, чтобы в Африке не было больших зверей. 

Поэтому в качестве отрицания подойдет: "Все африканские звери маленькие."

Напомним общее правило построения отрицаний: меняем КАЖДЫЙ (ВСЕ) на НАЙДЕТСЯ (НЕКОТОРЫЙ) и наоборот. 

Умение составлять противоположное утверждение. Следить за сменой кванторов.

Существование и всеобщности. Умение строить примеры

Для Миши большими являются звери, которые больше него.

Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?

1. Да, например мартышка.
2. Да, например бегемот.
3. Нет, например мартышка.
4. Нет, например бегемот. 

Чтобы опревергнуть данное утверждение, достаточно найти хотя бы одного африканского зверя, который не является большим. 

Рассмотрим одну из мартышек. Она - африканский зверь. Она не большая. 

Значит, утверждение "_ВСЕ африканские звери большие_" ложно.

*Ответ:* не верно, так как мартышка - не большой африканский зверь.

Умение строить пример. Правильная интерпретация квантора всеобщности и существования.

Для Миши большими являются звери, которые больше него.

Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?

1. Да, например мартышка.  

2. Да, например бегемот.  

3. Нет, например мартышка.  

4. Нет, например бегемот.

Чтобы подтвердить данное утверждение, достаточно найти хотя бы одного африканского зверя, который является большим. 

Рассмотрим одного из бегемотов. Он - африканский зверь. Он большой. 

Значит, НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие.

*Ответ:* верно, так как бегемот - большой африканский зверь.

В постановке вопроса задачи есть пропедевтика знакомства с кванторами. 

Предоставление  обоснованного примера в качестве ответа.