Для Миши большими являются звери, которые больше него.

Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?

1. Да, например мартышка.  

2. Да, например бегемот.  

3. Нет, например мартышка.  

4. Нет, например бегемот.

Для Миши большими являются звери, которые больше него.

Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?

1. Да, например мартышка.
2. Да, например бегемот.
3. Нет, например мартышка.
4. Нет, например бегемот. 

Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.

Кирилл построил отрицание утверждения: "НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие." 

_Вместо слова "все" далее можно указать "В", вместо слова "некоторые" - "Н", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._

У него получилось: "__ африканские звери __ ." Заполните пропуски.

Предположим, что в Африке могут водиться только большие и маленькие звери.
Кирилл построил отрицание утверждения: "ВСЕ африканские звери большие?"

_Вместо слова "существует" далее можно указать "С", вместо слова "все" - "В", "большие" - "б", "маленькие" - "М"._

У него получилось: "В Африке __ __ зверь."

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Каждый африканский зверь имеет усы, лапы и хвост."

У него получилось:

"__ африканские звери, у которых нет __ усов, __ лап,__ хвоста."

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если шакал Тимофей – хищник, то он быстро бегает."

У него получилось:

"Шакал Тимофей – __ и он бегает __."

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если африканский зверь хищник, то он быстро бегает."

У него получилось: "__ африканский зверь __, который бегает __."

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если Лев Игнатий быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."

При сохранении порядка следования свойств у него получилось:

"Лев Игнатий __, __, __ и __"

Кирилл построил отрицание утверждения:

"Если африканский зверь быстрый и сильный, то он либо сытый, либо добрый."

У него получилось:

"__ быстрый, __, голодный и __ африканский зверь."

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки.

По кругу сидят 5 мальчиков и 5 девочек. Докажите, что какой-то мальчик сидит напротив девочки. 

*Решение.*

__ противное.

Построим __ утверждения задачи: "любой мальчик сидит напротив мальчика."

Следовательно любая девочка сидит напротив __. 

Таким образом, мальчики разбились на пары сидящих напротив друг друга. Пусть $k$ --- количество пар мальчиков.

Тогда общее число __ $2k=15$. Что невозможно. 

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше исходное предположение ложно, а следовательно то, что нужно было доказать в задаче верно.

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

Из шахматной доски вырезали клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на доминошки (прямоугольники из двух клеток)?

*Ответ:* __.

*Решение.*

Предположим __. То есть, что оставшаяся часть оказалась разрезана на $k$ доминошек. 

Тогда она содержала бы $2k=63$ __.

Мы пришли к __. Следовательно наше предположение не верно.  

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

Можно ли в прямоугольной таблице $5\times 6$ (5 строк, 6 столбцов) расставить числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась бы 110, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 100?

*Ответ:*__. Предположим противное.

*Решение.*

Посчитаем сумму чисел в __ двумя способами: по строкам и по столбцам.

Первым способом (по строкам) получим, что эта сумма равна __.

Вторым --- __.

Но у нас должно получиться одно и то же число.

Мы пришли к __. Значит наше исходное предположение ложно. 

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок. 
Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

Вова сложил в мешок 10 пар кроссовок одного размера. Кирилл вытащил наугад из мешка 11 кроссовок.  Докажите, что Кирилл сможет надеть один кроссовок на правую ногу, а другой на левую и ему будет удобно.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно доказать не верно.

Не умаляя общности, можно предположить, что первый попавшийся Кириллу кроссовок правый. Тогда среди 11 вытащенных из мешка кроссовок нет __.

То есть, все 11 кроссовок __. Мы пришли к противоречию с тем, что Вова сложил в мешок лишь 10 правых кроссовков. Значит наше исходное предположение ложно, а то, что нужно было доказать в задаче выполнено.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

В 7"В" классе 29 учеников. Докажите, что какие-то пятеро из них родились в один день недели.

*Решение.*

Предположим __ и то, что нужно __ не верно.

Тогда в каждый из семи дней недели родилось не более __ учеников 7"В".

То есть, суммарно в 7"В" не более $7\cdot 4=28$ учеников. Это __ условию задачи. Таким образом, верно то, что нужно было доказать. 

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажите, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 разноцветных шариков.

*Решение.*

Предположим __ .

Вспомнив, как строить сложные отрицания, построим __ к утверждению задачи: "Среди шариков нет ни 8 одноцветных, ни 8 __." 

Таким образом различных цветов не более __ и шариков каждого конкретного цвета не более __.

То есть, суммарно не более $7\cdot 7=49$ шариков. Мы пришли к противоречию с тем, что нам дано, что шариков 50. Таким образом, верно то, что нужно было доказать.   

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

Докажите, что в классе из 35 человек найдутся двое, имеющие поровну друзей в этом классе.

*Решение.*

Предположим __.

Тогда все ученики класса имеют разное количество друзей: от 0 до __.

Выдадим каждому из них табличку, на которой написано число его друзей. При этом если кто-то нелюдим и ни с кем не дружит, то никто не дружит со всеми __-мя. И наоборот, если кто-то дружит со всеми __-мя, то каждый имеет хотя бы одного друга.

Таким образом есть всего 34 варианта табличек: 1,2,3,...,33 и один из 0 и 34.

Но если раздать 34 таблички 35 ученикам, то кому-то таблички не хватит. Мы пришли к __.

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

В клетках таблицы $4\times 4$ расставлены числа $-1$, $0$, $1$. Могло ли оказаться, что все суммы чисел в строках, столбцах и главных диагоналях различны?

*Ответ:*__.

*Решение.*

Предположим противное.

Тогда  при такой расстановке имеются __ различных сумм:

четыре по строкам, __ по столбцам и две по диагоналям.

Эти суммы могут принимать целые значения от $-4$ до __.

Если они все различные, то их не может быть больше 9. Противоречие. 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Можно ли разложить 14 шариков на 5 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным и в каждой кучке был бы хотя бы один шарик? 

Ответ: __.

Решение.

Предположим противное.

Разложим кучки в порядке возрастания количества шаров в них.

В самой маленькой кучке лежит не менее __ шара.

В следующей --- не менее __ шаров.

В следующей --- не менее __.

В четвертой --- не менее __.

В пятой --- не менее __ шаров. 

Таким образом в сумме должно быть не __ $1+2+3+4+5=15$ шаров. Мы пришли к противоречию с тем, что шаров всего 14.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Произведение 50 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Предположим противное: сумма всех чисел равна __.

Так как произведение целых чисел равно 1, то каждое из них равно либо 1, либо __.

Пусть $k$ из них равны __ , а $50-k$ равны  $-1$. 

Тогда сумма всех чисел равна $k-(50-k)=0$. То есть, $k=25$.

Но тогда __ всех чисел равно $(-1)^{25}=-1$. Что противоречит условию задачи. 

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник равнобедренный?

Ответ: __.

Предположим __. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ --- углы первого __.  Напомним, что $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Тогда, например, $\alpha+\beta$ и $\alpha+\gamma$ --- два различных угла второго треугольника. 

Но уже их сумма равна $2\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$. Что противоречит тому, что сумма двух углов треугольника __ $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. 

То есть, наше исходное предположение ложно.