В начале времен на острове Буяне жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других жителей. Сейчас на острове Буяне остался всего один житель. Кто это?

Рассмотрим ситуацию с конца, пронумеруем расы жителей. Пусть оставшийся житель принадлежал к расе 1, раса 2 – раса, которую убивает раса 1, а раса 3 – оставшаяся.

В силу того, что только оставшийся житель мог погубить нечетное число других, а остальные обязаны изничтожить четное число жителей (иначе бы выжили), расы 2 и 3 суммарно убили четное число, а раса 1 – суммарно перебила нечетное число (потому что все кроме выжившего лишали жизни четное число врагов).

Тогда к расе 1 принадлежало нечетное число жителей выживший и все, погибшие от рук расы 3), к расе 2 принадлежало нечетное число жителей (все жертвы расы 1), а к расе 3 принадлежало четное число жителей (все павшие в бою с расой 2).

Тогда можно однозначно определить, что 3 – рыцари, 1 – драконы, 2 – принцессы. То есть выживший был драконом.

Идея – определить, кто может остаться последним, учитывая условия задачи.

Вспомогательная идея – проанализировать взаимодействие между жителями и их последствия.

Двоечник Федя выставляет (по одной) шашки на клетки доски $10\times 10$ для стоклеточных шашек. Докажите, что в какой-то момент одна из шашек сможет съесть другую шашку.

*Решение.*

Рассмотрим __, когда незанятых клеток осталось ровно __.

Тогда одна из шашек __ побить шашку, стоящую рядом со свободной клеткой.

Рассмотрим момент, когда осталась ровно одна незанятая клетка. Тогда одна из шашек может побить шашку, стоящую рядом со свободной клеткой.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата бóльшего размера.

Восстановите решение задачи, заполнив пропуски словами:

1) больший, большого, больших или просто буквой *б*;

2) меньший, малого, меньших или просто буквой *м*.

*Решение*

Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины __ квадрата.

Тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины __.

Но, начиная прыгать из вершин бóльшего квадрата, они всегда будут попадать в узлы другой сетки, состоящей из __ квадратов.

Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона __ квадрата. Противоречие.

Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины бóльшего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.

Идея – использование симметрии и свойств квадрата.

Максим задумал целое число. Ирина умножила его не то на 5, не то на 6. Даша прибавила к результату Ирины не то 5, не то 6. Рената вычла от результата Даши не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Максим? Перечислите все возможные варианты.

Порядок ходов:

Максим – Ирина – Даша – Рената.

Пойдем с конца. Перед ходом Ренаты было число либо 76, либо 77.

Перед ходом Даши – либо 70, либо 71, либо 72. При этом, число должно делиться либо на 5, либо на 6. Подходят 70 и 72.

Тогда перед ходом Ирины было число либо 12, либо 14.

То есть, Максим задумал одно из двух чисел – 12 или 14.

Основная идея – пойти с конца

Вспомогательная идея – рассмотреть все комбинации операций с числами 5 и 6.

На доске написана буква. Каждую минуту Вася делает следующее:

если на доске написана гласная, он пишет вместо неё следующую по алфавиту согласную,

а если согласная – следующую по алфавиту гласную.

_Например, вместо А он пишет Б, а вместо К – букву О._

Через 4 минуты на доске оказалась буква Ф.

Какая буква могла быть написана на доске сначала?

Пойдем с конца. Разобьем алфавит на блоки подряд идущих букв одного вида: гласных или согласных. А-БВГД-ЕЁ-ЖЗ-И-ЙКЛМН-О-ПРСТ-У-ФХЦЧШЩ-Ь-Ы-Ъ-ЭЮЯ. Заметим, что в результате операции может получиться только буква, стоящая первой в своём блоке. При этом, она может быть получена из любой буквы предыдущего блока. Тогда буква Ф была получена из буквы У. Буква У была получена из одной из букв ПРСТ. Из них в нашем процессе могла встретиться только буква П. Буква П была получена из буквы О. Буква О была получена из одной из букв ЙКЛМН.

В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?

Заметим, что если в ряду было $k$ деревьев, то через год будет $2k-1$ дерево. Пойдем с конца. Решив уравнение $2k-1=1197$, получаем, что в предпоследний год в ряду росло 599 деревьев. Аналогично, решая уравнение $2k-1=599$, получаем, что изначально высадили 300 деревьев.

Идея – проанализировтаь, как изменялось число деревьев, составить формулу.

Вспомогательная идея – составить и решить уравнение.

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Предположим, что такое возможно. Разберем два случая. Все числа стали равны 1. Посмотрим на предыдущий ход. Единица была записана между двумя разными числами – 0 и 1. Тогда перед последним ходом 0 и 1 чередовались. Осталось заметить, что для 9 чисел такое невозможно. Все числа стали равны 0. Тогда перед последним ходом все числа также были одинаковы. Рассуждая аналогично, приходим либо к противоречию, либо понимаем, что в любой момент времени все числа одинаковы, что также противоречит условию.

Основная идея – идем с конца.

Вторая идея – предполагаем, что могло получиться, доказываем, что такого не могло быть.

Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?

Пойдем с конца. Перед зачеркивание последней цифры у Сени было число трехзначное число $21\star$, то есть $\star$ – зачёркнутая цифра. Из таких чисел на 7 делятся только 210 и 217. Тогда до умножения на 7 у Сени было число либо 30, либо 31. Перед зачеркивание последней цифры у Сени было либо число $30\star$, либо число $31\star$. Из таких чисел на 13 делится только $312=24\cdot 13$. Поэтому перед умножением на 13 у Сени было число 24.

Основная идея – идем с конца.

Вторая идея – использование делимости.

Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

Ответ: 

У Пети было __ фантиков,

у Вани было __ фантиков,

у Толи было __ фантиков.

Порядок действий: Петя – Ваня – Толя.

Пойдем с конца. Всем досталось фантиков поровну – по 40.

Перед действием Толи у Пети и Вани было по 20 фантиков, а у Толи – 80.

Перед действием Вани у Пети было 10 фантиков, у Толи – 40, а у Вани – 70.

В начале, то есть, перед действием Пети у Толи было 20 фантиков, у Вани – 35, а у Пети – 65.

Основная идея – идем с конца.

Второе соображение – определить порядок действий

Найдите неизвестное значение *$x$* из равенства

*$998 + 17 \cdot ( 171 - 1862 : x ) = 2239$*.

Проставим порядок действий:

первое – деление,

второе – вычитание,

третье –  умножение,

четвертое – сложение.

Будем делать обратные действия, начиная с четвертого.

$17\times (171 - 1862:x)=2239-998=1241$;

$171 - 1862:x=1241:17=73$;

$1862:x=171-73=98$;

$x=1862:98=19$.

Оля, Коля и Толя пришли в столовую. Коля съел половину всех пончиков, после чего продавщица отложила один пончик для директора столовой. После этого Толя съел половину оставшихся пончиков. Увидев это, продавщица отложила один пончик себе, после чего Оля доела оставшиеся два пончика. Сколько пончиков съел Толя? А Коля?

Ответ:

Толя – __;

Коля – __.

Посмотрим на порядок действий с пончиками: Коля – продавщица – Толя – продавщица – Оля с конца. Оля съела два пончика. Продавщица отложила себе один. Перед этим оставалось три пончика – ровно столько и съел Толя. То есть, перед Толей были 6 пончиков. Директору столовой достался один. Значит до этого было семь пончиков. Коля съел половину, поэтому перед ним было 14 пончиков. Мы размотали все с конца до самого начала. Осталось заметить, что Коля съел 7 пончиков, а Толя – три.

Идея – проделать всю последовательность действий с конца.

Не забыть про откладываемые пончики!

На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на двадцатый день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера? В ответе укажите одно число – номер дня.

Посмотрим на двадцатый день. Так как каждый день число цветков удваивалось, то на 19-й день было в два раза меньше цветков, то есть, покрыта была ровно половина озера.

Маша задумала число, прибавила к нему 5, разделила на 3, умножила на 4, вычла 6, разделила на 7 и получила 2. Какое число задумала Маша?

Посмотрим на последний ход. Разделив на 7, Маша получила 2. Значит делимое равнялось 14. Посмотрим на предпоследний ход. Отняв 6, Маша получила 14. Значит уменьшаемое равнялось 20.

Посмотрим еще на предыдущий ход. Умножив на 4, Маша получила 20. Значит предыдущее число равнялось 5.

Аналогично до этого у Маши было число 15, а в самом начале – 10.

Основная идея – проделать всю последовательность действий с конца.

Маша задумала число, прибавила к нему 5, умножила на 4 и получила 60. Какое число задумала Маша?

Проставим порядок действий: первое – <<+>>, второе – <<$\times$>>. Начнем делать обратные действия, начиная с последнего. Умножив на 4, Маша получила 60. Значит первый множитель равнялся $60:4=15$. Прибавив 5, Маша получила 15. Значит исходное число равнялось $15-5=10$.

Маша задумала число, прибавила к нему 5 и получила 15. Какое число задумала Маша?

Прибавив 5, Маша получила 15. Значит исходное число равнялось $15-5=10$.