Дана четверка чисел $(0, 0, 0, 0)$. За операцию к этой четверке прибавляется либо четверка $(3,5,6,2)$, либо четверка $(5,2,4,3)$. Через несколько шагов первые три числа оказались равны оказались равны 63, 67 и 90. Чему стало равно четвертое число?

Андрей, Борис, Валя и Галя каждый день ели конфеты. В какие-то дни Андрей съедал 3 конфеты, Борис – 5, Валя – 6, а Галя – 2. В оставшиеся дни Андрей съедал 5 конфет, Борис – две, Валя – 4, а Галя – 3. Через некоторое оказалось, что за всё это время Андрей съел 63 конфеты, Борис – 67, а Валя – 90 конфет. Сколько конфет к тому моменту съела Галя?

Основная идея – найти то, что остается постоянным от шага к шагу.

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(6,1,21)$, либо тройка $(4, 2, 18)$. Через несколько шагов первое и третье число в тройке оказались равны 46 и 189. Чему стало равно второе число?

Надя, Рита и Костя коллекционируют камни. В некоторые дни Надя находит 6 новых камней в свою коллекцию, Рита находит один, а Костя 21 камень. В остальные дни Надя находит 4 камня, Рита – 2, а Костя – 18. Через несколько дней оказалось, что Надина коллекция пополнилась на 46 камней, а Костина на 189 камней. Сколько новых камней нашла Рита?

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(1,3,2)$, либо тройка $(4, 2, 3)$. Через несколько шагов первое и второе число в тройке оказались равны 40 и 90. Чему стало равно третье число?

Даша, Маша и Саша собирали гербарий. В обычные дни Даша находила 1 новый кленовый лист, Маша – 3, а Саша – 2. Но в некоторые дни Даша находила 4 листа, Маша – 2, а Саша – 3. Через несколько дней оказалось, что у Маши в коллекции 40 листьев, у Даши – 90. Сколько листьев в гербарии у Саши?

Дана тройка чисел $(0, 0, 0)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(1,3,2)$, либо тройка $(4, 2, 3)$. Через несколько шагов первое и второе число в тройке оказались равны 40 и 90. Чему стало равно третье число?

Даша, Маша и Саша собирали гербарий. В обычные дни Даша находила 1 новый кленовый лист, Маша – 3, а Саша – 2. Но в некоторые дни Даша находила 4 листа, Маша – 2, а Саша – 3. Через несколько дней оказалось, что у Маши в коллекции 40 листьев, у Даши – 90. Сколько листьев в гербарии у Саши?

*Заполните пропуски в решении задачи.*

_Решение._ Можно заметить, что в любой день Маша и Даша вместе собирают:
__ *а)* столько же листьев, сколько... *б)* вдвое больше листьев чем... *в)* вдвое меньше листьев чем Саша.
_Нужно ввести одну из букв – а, б или в._

Тогда и за все дни они вместе собрали вдвое больше листьев, чем Саша. Всего Маша и Даша собрали $40+90=130$ листьев, значит Саша собрал половину от этого количества, то есть __ листьев.

Дана тройка чисел $(40, 20, 50)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(40,30,70)$, либо тройка $(-35, -25, -60)$. Через несколько шагов первое и третье число в тройке оказались равны 70 и 130. Чему стало равно второе число?

У Оли было 40 рублей, у Лены – 20, а у Лёши – 50. Каждый день вечером мама выдаёт детям карманные деньги: Оле даёт Оле 40 рублей, Лене – 30,а Лёше –70. Иногда дети ходят в магазин и покупают сладости: Оля тратит 35 рублей, Лена – 25, а Лёша – 60. Через несколько дней оказалось, что у Оли есть 70 рублей, а у Леши – 130. Сколько тогда денег у Лены?

Дана тройка чисел $(50, 90, 70)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(20,30,50)$, либо тройка $(-10, -25, -35)$. Через несколько шагов первые два числа в тройке окались равны 100 и 140. Чему стало равно третье число?

У Оли было 50 рублей, у Лены – 90, а у Лёши – 70. Каждый день вечером мама выдаёт детям карманные деньги: Оле даёт 20 рублей, Лене – 30,а Лёше – 50. Иногда дети ходят в магазин и покупают сладости: Оля тратит 10 рублей, Лена – 25, а Лёша – 35. Через несколько дней оказалось, что у Оли есть 100 рублей, а у Лены – 140. Сколько тогда денег у Леши?

Дана тройка чисел $(50, 90, 70)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(20,30,50)$, либо тройка $(-10, -25, -35)$. Через несколько шагов первые два числа в тройке окались равны 100 и 140. Чему стало равно третье число?

У Оли было 50 рублей, у Лены – 90, а у Лёши – 70. Каждый день вечером мама выдаёт детям карманные деньги: Оле даёт 20 рублей, Лене – 30,а Лёше – 50. Иногда дети ходят в магазин и покупают сладости: Оля тратит 10 рублей, Лена – 25, а Лёша – 35. Через несколько дней оказалось, что у Оли есть 100 рублей, а у Лены – 140. Сколько тогда денег у Леши?

*Заполните пропуски в решении задачи*.

_Решение._ Можно заметить, что мама выдаёт девочкам в сумме
__ *а)* столько же, сколько... *б)* больше, чем... *в)* меньше чем она выдаёт Лёше.
_Нужно ввести одну из букв – а, б или в._

В магазине девочки в сумме тратят 35 рублей, то есть столько же, сколько тратит Лёша. Изначально у девочек суммарно на __ больше, чем у Лёши.

Так как девочки суммарно тратят или получают столько же денег, сколько Лёша, то у них всегда на 70 рублей больше. В конце у них вместе $100+140=240$ рублей, значит у Лёши на 70 рублей меньше, то есть у него __ рублей.

Дана тройка чисел $(x, y, x+y-3)$. За операцию к этой тройке прибавляется либо тройка $(2,3,5)$, либо тройка $(2, 1, 3)$. Через несколько шагов первые два числа в тройке окались равны 15 и 12. Чему стало равно третье число?

Петя, Вася и Толя коллекционируют машинки. Изначально у Толи было на три машинки меньше, чем у Пети и Васи вместе. В некоторые дни Петя покупает 2 машинки, Вася – 3, а Толя – 5, а в остальные дни Петя – 2, Вася одну, а Толя – 3. Через несколько дней оказалось, что у Пети всего 15 машинок, у Васи – 12. Сколько машинок стало у Толи?

Дана тройка чисел $(6,7,8)$. За шаг можно одно число увеличить на 1, а другое уменьшить на один. Через несколько шагов первые два числа оказались равны 3. Чему стало равно третье число?

У Айгуль было 6 марок, у Ильнура – 7, а у Тагира – 8. Каждый день один из ребят дарит какую-то из своих марок другому. Через несколько дней у Айгуль и Ильнура оказалось по 3 марки. Сколько стало марок у Тагира?

Изначально дана пара чисел $(0,0)$. За шаг к ним прибавляется пара $(2,1)$ или пара $(1,2)$. Сколько было сделано шагов, если в какой-то момент получилась пара чисел $(11,10)$?

Каждый день девочки в сумме получают 3 оценки. Если у них на двоих 10+11=21 оценка, то прошло 21:3=7 дней.

Полина и Рената ходят в школу. В некоторые дни Полина получает 2 оценки, а Рената одну. А в остальные дни наоборот. Через несколько дней оказалось, что Полина получила 10 оценок, а Рената – 11. Сколько прошло учебных дней?

Основная идея – найти то, что остается постоянным от шага к шагу.

 Вторая идея – понять, как то, что изменилось, связано с количеством шагов.

Изначально дана пара чисел $(x,x)$. За шаг к ним прибавляется пара $(2,1)$. Чему равно $x$, если в какой-то момент получилась пара чисел $(18,10)$?

Изначально у Вовы и Дениса было поровну ручек. Каждый день они приходили в магазин и покупали новые: Вова покупал две ручки, а Денис – одну. Через несколько дней оказалось, что у Вовы накопилось 18 ручек, а у Дениса 10. Сколько ручек было у каждого из них изначально?

Основная идея – понять, что остается постоянным от шага к шагу.

Вторая идея – понять, как изменяется соотношение чисел (количества ручек у Вовы и Дениса) и как это связано с количеством шагов (дней).

Изначально дана пара чисел $(x,x)$. За шаг к ним прибавляется пара $(2,1)$. Сколько было сделано шагов, если получилась пара чисел $(20,13)$?

Заполните пропуски в решении задачи *инвариант05*.

Каждый день Вова покупает на один карандаш больше чем Денис, значит каждый день разница между количествами карандашей у Вовы и Дениса растёт на __.

Изначально карандашей у ребят было поровну, то есть разница была равна __.

А затем эта разница стала равна $20-13=7$.

Значит прошло __ дней.

Изначально дана пара чисел $(x,x)$. За шаг к ним прибавляется пара $(2,1)$. Сколько было сделано шагов, если получилась пара чисел $(20,13)$?

Изначально у Вовы и Дениса было поровну карандашей. Каждый день они приходили в магазин и покупали новые: Вова покупал два карандаша, а Денис – один. Через несколько дней оказалось, что у Вовы накопилось 20 карандашей, а у Дениса 13. Сколько дней прошло?

Основная идея – найти то, что остается постоянным от шага к шагу.

 Вторая идея – понять, как то, что изменилось, связано с количеством шагов.

Изначально дана пара чисел $(7,3)$. За шаг оба числа увеличиваются на 4, или оба числа уменьшаются на 1. Чему стало равно первое число, если через несколько шагов второе оказалось равно 10?

Заполните пропуски в решении задачи *инвариант04*.

Заметим, что Вика и Катя каждый день съедают или покупают одинаковое количество леденцов, значит у девочек не меняется: 

__ (а) разница; (б) сумма количеств леденцов.

Изначально у Кати на __ леденца больше, значит и в конце тоже.

То есть у Кати __ леденцов.

Изначально дана пара чисел $(7,3)$. За шаг оба числа увеличиваются на 4, или оба числа уменьшаются на 1. Чему стало равно первое число, если через несколько шагов второе оказалось равно 10?

У Кати было 7 леденцов, а у Вики 3. Каждый день они либо получают по 4 леденца, либо съедают по одному. Через несколько дней оказалось, что у Вики стало 10 леденцов. Сколько леденцов стало у Кати?

Изначально дана пара чисел $(3,3)$. За шаг оба числа увеличиваются на 3, или оба числа уменьшаются на 2. Чему стало равно первое число, если через несколько шагов второе оказалось равно 8?

У Саши и Ромы было по 3 шоколадки. Каждый день они либо съедают по две, либо покупают по три новых. Через несколько дней оказалось, что у Саши 8 шоколадок. Сколько шоколадок у Ромы?

Изначально дана пара чисел $(x,x+15)$. За шаг оба числа увеличиваются на 10. Чему стало равно первое число, если через несколько шагов второе оказалось равно 100?

У Васи было несколько рублей, а у Пети на 15 рублей больше. Каждый день мама выдавала им по 10 рублей. Через несколько дней оказалось, что у Пети накопилось 100 рублей. Сколько накопилось у Васи?

Изначально дана пара чисел $(x,x+15)$. За шаг оба числа увеличиваются на 10. Чему стало равно первое число, если через несколько шагов второе оказалось равно 100?

Заметим, что в любой момент времени у Пети на *15* рублей больше чем у Васи, потому что мама всегда выдает им поровну денег и разница не меняется.

Значит, если у Пети накопилось 100 рублей, то у Васи на *15* рублей меньше.

То есть у Васи *85* рублей.

У Васи было несколько рублей, а у Пети на 15 рублей больше. Каждый день мама выдавала им по 10 рублей. Через несколько дней оказалось, что у Пети накопилось 100 рублей. Сколько накопилось у Васи?

*Заполните пропуски в решении задачи.*

Заметим, что в любой момент времени у Пети на __ рублей больше чем у Васи, потому что мама всегда выдает им поровну денег и разница не меняется.

Значит, если у Пети накопилось 100 рублей, то у Васи на __ рублей меньше.

То есть у Васи __ рублей.

Изначально дана пара чисел $(6,15)$, за шаг одно из чисел уменьшается на 1, а другое увеличивается на 1. Чему стало равно второе число, если первое оказалось равно 9?

В начале месяца у Маши было 6 конфет, а у Тани 15. Каждый день одна из девочек отдавала другой одну конфету. Сколько конфет было у Тани в конце месяца, если у Маши оказалось 9?