Записана последовательность цифр 12345678910111213... 1000 (все натуральные числа от 1 до 1000 подряд без пробелов). Далее вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Такие вычеркивания сделали 6 раз. С какой цифры теперь начинается число?

После первого вычёркивания останутся лишь те цифры, первоначальные номера которых чётны, после второго – те, чьи первоначальные номера делились на 4, после третьего – на 8 и т.д. , после 6-го - на 64. Итого, нам надо найти 64-ю цифру исходного числа. Нетрудно убедиться, что эта цифра - 3.

При решении этой задачи полезно:

1) Обсудить, какие цифры стоят на четных местах, каким свойством обладают первые цифры чисел, которые получаются после каждого вычеркивания.

2) Предложить поэкспериментировать, например, с последовательностью чисел от 1 до 30 и сформулировать гипотезу.

Сколько есть семизначных чисел, у которых цифры идут в порядке строгого возрастания?

В таком чисел не может быть цифры 0. Остальные цифры 1,2,...,9 кроме каких-то двух цифр, составляют число. Вычеркнув пару цифр (сделать это можно 9x8 / 2 = 36 способами), мы получаем набор из 7 цифр, который однозначно определяет число (цифры должны идти в порядке возрастания).

Сколько есть восьмизначных чисел, у которых цифры идут в порядке возрастания?

В таком чисел не может быть цифры 0. Остальные цифры 1,2,...,9 кроме какой-то одной цифры, составляют число. Вычеркнув одну из цифр (9 возможностей) мы получаем набор из 8 цифр, который однозначно определяет число (цифры должны идти в порядке возрастания).

Решая эту задачу полезно обсудить, с какого числа может начинаться такое число; какие цифры могут быть в его записи и в каком порядке.

Подряд записали без пробелов все трехзначные числа по порядку: 100101102...999. Какая цифра у получившегося числа находится на 210-й позиции (считая слева)?

Выпишем каждую третью цифру в нашем числе - получится последовательность 01234... - это последние цифры исходных трехзначных чисел. Нас интересует 210-я цифра исходной последовательности, т.е. 70-я цифра последовательности 01234... В силу периодичности с периодом 10, эта цифра - 9.

Нужно обсудить, как можно упростить эти задачу. Как переформулировать ее так, чтобы число оказалось меньше, а цифра, которую будем искать в новом числе, не изменилась.
При решении этой задачи используем идеи:
1) так как записаны трехзначные числа, то нас интересует 70-я цифра последовательности, которая получится, если отбросить первые две цифры в каждом трехзначном числе.
2) идея периодичности: так как получившееся после отбрасывания число - это повторяющаяся последовательсть цифр от 0 до 9, то 70-я ифра - это последняя цифра этой последовательности, то есть 9.

Подряд записали все трехзначные числа: 100, 101, 102, ..., 999. Сколько цифр "0" было при этом записано?

На последнем месте ноль встречается один раз в каждом десятке, итого 90 раз. В разряде десятков (на предпоследнем месте) ноль встречается 10 раз в каждой сотне, т.е. 90 раз. Итого - 90+90 = 180 нулей. Другое решение можно получить, заметив, что в послдених двух разрядах все цифры встречаются одинаковое количество раз.

Напишите восьмизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих.

Петя и Вася играют в игру, по очереди заменяя звездочки на цифры в примере $4\star\star\star + 1\star\star$. Начинает Петя. Петя хочет, чтобы сумма получилась как можно меньше, а Вася - наоборот - чтобы сумма получилась как можно больше. Какая сумма получится при правильной игре обоих?

Петя сможет своими ходами поставить три нуля в каждом из разрядов, тем самым обеспечить, чтобы сумма оказалась не более 4000 + 100 + 99.

Вася своими ходами сможет поставить две девятки в разряды десяток и единиц (в любом из слагаемых), обеспечив тем самым сумму не менее 4000 + 100 + 99.

При решении этой задачи:

1) Нужно определите, какой ход будет наилучшим для каждого из игроков и как его результат будет отражаться на итоговой сумме.

Отсюда первая пара ходов П – В: 40** + 19* или 409* + 1**.

2) Обратить внимание, что постановка 9 или 0 на место десятков в первом или во втором слагаемом не изменяет значение суммы.

Маша играет с карточками. У нее четыре карточки, на которых написаны числа 8, 79, 85, 852. Она хочет выложить эти карточки подряд, чтобы восьмизначное число, которое получилось, было как можно больше. Помогите Маше (напишите это наибольшее число).

Можно выложить число A=88585279. Если выложить первой карточку, отличную от карточки 8, то число получится точно меньше A. Значит считаем, что первая выложенная карточка - 8, и далее продолжаем с тремя карточками. Понимаем, что если следующая карточка - не 85, то результат будет меньше A. И т.д., доходим до ответа.

ПРи решении этой задачи полезно:
1) Актуализировать значение цифры в зависимости отпозиции, которую она занимает в записи числа.
2) Обсудить, с какой цифры должно начинаться наибольшее число.

3) Проанализировать, какой должна быть вторая цифра, чтобы число было наибольшим.

4) Понять, как выбрать из заданных карточек первые две на основе результатов обсуждения.

Вставьте между какими-то двумя цифрами числа 79184 цифру 3 так, чтобы полученное шестизначное число оказалось как можно больше. (Напишите, какое число получилось)

Если цифра 3 будет между 9 и 1, то результат - 793184. Если цифа 3 будет между 7 и 9, то результат будет меньше. Также результат будет меньше, если цифра 3 окажется правее 1 (в этом случае число будет начинаться с 791).

Запишите наименьшее четырехзначное число, составленное из четырех различных четных цифр

Есть число 2046. Интуитивно почти очевидно, что оно искомое. Приведем, однако, строгое рассуждение. Допустим, число abcd из различных четных цифр меньше чем 2046. У нас a не равно 0, поэтому a не меньше 2, и в случае a>2 число уже точно больше, чем в нашем примере. Далее можно считать тогда, что a=2. Продолжем далее: если b>0, то число точно больше чем 2046, поэтому далее считаем, что b=0. Далее, c не меньше 4, поскольку четные цифры 0 и 2 уже использованы. Если c>4, то результат больше чем 2046, так что можем считать, что c=4. Тогда d не меньше 6 (цифры 0, 2, 4 уже использованы), поэтому наше число abcd не меньше 2046.

Сколько есть трехзначных чисел, у которых первая цифра равна 4 и цифры идут в порядке возрастания?

*Способ 1*

Вторая цифра больше 4, т.е. она равна 5, 6, 7, 8 или 9.

Если вторая цифра - 5, то наше число вида *45a* и в качестве *a* годится любая из цифр 6, 7, 8, 9 (4 варианта).

Если вторая цифра - 6, то имеется 3 варианта для третьей цифры.

Если вторая цифра - 7, то всего 2 варианта для третьей цифры.

Если вторая цифра - 9, то для третьей цифры останется только 1 вариант.

Общее количество вариантов выписать трёхзначное число, у которого первая цифра равна 4 и цифры идут в порядке возрастания равно сумме:

4+3+2+1 = 10.

*Способ 2* (комбинаторный)

Пара цифр из множества {5,6,7,8,9} определяет однозначно число, значит искомое количество = C из 5 по 2.

Сколько есть трехзначных чисел, у которых средняя цифра равна 4 и цифры идут в порядке убывания?

Пусть наше число - a4b. Цифры идут в порядке убывания, значит для цифры *a* всего 5 вариантов (5,6,7,8,9), а для цифры *b* возможны 4 варианта (0,1,2,3) на каждый фиксированный вариант выбора цифры *a*. Итого получаем $5\cdot 4 = 20$ вариантов.

Первоклассник Ваня выписал в тетради подряд все натуральные числа от 1 до 111 (чисел, больших чем 111, Ваня не знал). Сколько всего цифр было написано?

Всего выписано 9 однозначных, 99 - 9 = 90 двухзначных и 12 трехзначных чисел. Значит, всего было выписано 9 + 2\cdot 90 + 3\cdot 12 = 225 цифр.

Напишите пятизначное число, у которого последняя цифра равна 8, и в котором каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих.

При решении этой задачи :
1) Полезно обратить внимание, с какой цифры не может начинаться число.

2) Целесообразно решение этой задачи начинать с конца: какими могут быть вторая и третья с конца цифры.

На доске выписаны подряд все двузначные числа: 10, 11, 12, ..., 99. Сколько четных цифр всего выписано?

В каждом из девяти десятков на последнем месте (в разряде единиц) каждая цифра встречается ровно 1 раз, значит, четных цифр – 5. Итого, в разряде единиц четные цифры встречаются $5\cdot 9 = 45$ раз.

На первом месте (в разряде десятков) четная цифра – в четырех десятках, итого в разряде десяткой четные цифры встречаются $10 \cdot 4=40$ раз.

Таким образом, всего четных цифр выписано 45+40 = 85.

При решении этой задачи нужно обратить внимание на закономерность появления цифр в двузначных числах: на первом месте и на втором

На доске выписаны подряд все двузначные числа: 10, 11, 12, ..., 99. Сколько цифр всего выписано?

Всего выписано 99 - 9 = 90 чисел. И в каждом чисел 2 цифры: итого $2\cdot 90 = 180$ цифр.