Два бегуна одновременно стартуют  из одной точки и бегут по прямой. Первый --- со скоростью 1 км/ч, второй --- со скоростью 2 км/ч. Как только один из бегунов отстаёт от другого на 100 метров, он моментально увеличивает свою скорость на 2 км/ч. Какие скорости будут у бегунов через три часа после старта?

Скорость сближения всегда составляет 1 км/ч, и отставание на 100 метров образуется (и ликвидируется) за 1/10 часа\;=\;6 минут. Поэтому первое увеличение скорости будет через 6 минут после старта, а каждое следующее --- через 12 минут после предыдущего. Поэтому за 3 часа случится $15$ увеличений скорости. Соответственно, скорость первого бегуна увеличится 8 раз, скорость второго --- 7 раз. Окончательно, скорости будут составлять соответственно $1+8\cdot2=17$ км/ч у первого и $2+7\cdot 2=16$ км/ч у второго.

Две круглые беговые дорожки имеют длину 3300 м каж-
дая и пересекаются в одной точке. В этой точке стоит мужик. Ско-
рость бега мужика по одной дорожке –– 300 м/мин, а по второй ––
220 м/мин. На каком минимальном расстоянии (считая по дороге)
от исходной точки окажется мужик через 1 ч 20 мин после старта,
если он начнет непрерывно бегать по дорожкам, не разворачива-
ясь?

Один круг мужик пробегает за 11 минут, второй –– за 15 ми-
нут. 80 не набрать слагаемыми 11 и 15, значит, расстояние будет
ненулевое. С другой стороны, меньше, чем на минуту бега от старта
мужик оказаться не может (потому что время прохождения каждого
круга –– целое число минут). Таким образом, искомое расстояние не
меньше 220 метров. Пример, когда оно достигается: сначала пробе-
жать 6 раз первый круг, на это уйдёт 66 минут, затем оставшиеся 14
бежать по второму.

Восьмого марта Рома проснулся, позавтракал и решил поздравить с праздником свою подругу Юлю. В полдень он отправился к её дому со скоростью 5 км/ч. По пути он увидел цветочный магазин и понял, что без букета цветов приходить нехорошо. Мгновенно выбрав самый большой букет, он отправился дальше --- со скоростью 4~км/ч, т.к. букет мешал идти быстрее. Потом на пути Ромы попался кондитерский магазин, Рома мгновенно купил там самый большой торт и пошёл дальше --- уже со скоростью 3 км/ч. В 15.30 он оказался у Юлиного дома и обнаружил, что Юля ушла пять минут назад. Оказалось, что первые два участка пути имели одинаковую длину, а последние два участка заняли одинаковое время. Найдите расстояние от дома Ромы до дома Юли.

Обозначим за $4x$ первую часть пути. По условию, вторая часть пути тоже равна $4x$, а третья тогда равна $3x$. Итого весь путь занимает $11x$. Сосчитаем время: $\frac{4x}{5}+\frac{4x}{4}+\frac{3x}{3}=\frac{14x}{5}=3,5$ часа. Отсюда $x=\frac{5}{4}$ км, и $11x=\frac{55}{4}$ км = 13750 м.

Дома Ани и Вани расположены вдоль прямой дороги. Между их до-
мами находятся школа и магазин, которые делят отрезок между домами
на три равные части. Если Аня и Ваня выйдут из дома одновременно
и пойдут навстречу друг другу, то они встретятся возле магазина. Ес-
ли Аня поедет на самокате, увеличив тем самым свою скорость на 150
м/мин, то они встретятся возле школы. С какой скоростью ходит Ваня?

Так как при пересадке на самокат Аня едет быстрее, то встреча должна
произойти ближе к дому Ани. Поэтому, если идти от дома Ани к дому Вани, сначала
встретится магазин, потом школа.
Когда ребята идут пешком, они встречаются возле магазина, таким образом, Аня
проходит треть пути, а Ваня — две трети. Так как время движения одинаково, скорость
Вани вдвое больше скорости Ани, обозначим их через 2v и v м/мин.
При поездке на самокате Аня проезжает две трети пути, а Ваня проходит треть.
Значит, скорость Ани вдвое больше скорости Вани и равна 2·2v = 4v м/мин. Скорость
Ани увеличилась на 4v − v = 3v м/мин, что по условию составляет 150 м/мин. Отсюда
3v = 150, v = 50, скорость Вани 2v = 2 · 50 = 100 м/мин.

Как-то раз почтальон Печкин обнаружил, что забыл свой
велосипед у дяди Фёдора. В тот же день дядя Фёдор обнаружил, что
забыл свой велосипед у Печкина. Поэтому ровно в 8 утра каждый
из них отправился в путь к другому, а дойдя, немедленно сел на
велосипед и поехал обратно. Дядя Фёдор ездит на велосипеде втрое
быстрее, чем ходит пешком, а Печкин на велосипеде едет в два раза
быстрее, чем идёт пешком. Оба они вернулись домой ровно в 11:00.
На каком расстоянии от дома дяди Фёдора они повстречались, когда
ехали обратно? Расстояние между их домами равно 10 км 500 м.

Дядя Фёдор провёл за рулём четверть всего времени, а Печ-
кин –– треть. За это время каждый из них проехал одно и то же
расстояние. Следовательно, Печкин едет со скоростью 3
4 от скоро-
сти дяди Фёдора, поэтому от встречи до возвращения домой ему
осталось проехать 3
7 всего пути, в то время как дяде Фёдору осталось
проехать 4
7 пути. 4
7 от 10,5 км составляет 6 км.

Дорога между пунктами A и B состоит только из наклон-
ных участков: иногда она идёт в гору (вверх), а иногда под гору
(вниз). Никита идёт в гору со скоростью 3 км/ч, а под гору со ско-
ростью 5 км/ч. Первую половину пути из A в B он прошёл за 32
минуты, а вторую половину –– за 37 минут. Возвращаясь из B в A,
он преодолел первую половину пути за 36 минут. Сколько времени
ему потребуется на вторую половину?

Рассмотрим ту половину пути, которая ближе к B. Ники-
та прошёл её дважды: в одном направлении за 37 минут, в другом
за 36, т. е. суммарно потратил 73 минуты. Каждый из наклонных
участков за это время пройден один раз вверх и один раз вниз, по-
этому общая длина пути вверх равна общей длине пути вниз. Зна-
чит, чтобы пройти полдороги вверх и полдороги вниз, нужно 73 ми-
нуты. Но то же самое верно и для другой половины пути, т. е. её
преодоление в обе стороны тоже занимает 73 минуты. Поскольку
в одну сторону Никита прошёл её за 32 минуты, то на обратный путь
ему нужна 41 минута.

Винни-Пух вышел с некоторой скоростью в гости к Кро- Нет
авторов. лику. Он посчитал, что если все время будет идти с этой скоростью,
то дойдет ровно за час. На трети дороги ему встретился Пятачок.
Следующие десять минут Винни-Пух беседовал с ним. Затем он уве-
личил скорость в два раза и успел бы вовремя, но ровно посере-
дине оставшегося пути на дорогу выскочил Тигра и семь минут рас-
сказывал Винни анекдоты. Во сколько раз (относительно исходной)
Винни-Пух теперь должен увеличить свою скорость, чтобы прибыть
к Кролику в намеченное время?

На треть дороги Винни потратит 20 минут, так как за
1 час проходит три такие части пути. После разговора с Пяточком
уже прошло 30 минут. Ускоряясь в 2 раза, он половину от оставшего-
ся пути (т. е. ещё одну треть всего пути) пройдет за 20 : 2 = 10 минут.
После разговора с Тигрой прошло 47 минут или же осталось 13 ми-
нут. Если за 20 минут он проходит треть с исходной скоростью, то
нам надо за 13 минут. Значит, скорость должна быть выше в 20
13 раза.

Автомобили «Ахиллес» и «Черепаха» ездят по кольцевой
дороге, вдоль которой расположены пункты А, Б и В (в порядке дви-
жения автомобилей). Стартовали они одновременно: «Ахиллес» из
А, а «Черепаха» из Б. Когда «Ахиллес» добрался до Б, «Черепаха»
доехала до В; когда «Ахиллес» достиг В, «Черепаха» оказалась в А;
когда же «Ахиллес» вернулся в А, «Черепаха» опять была уже в В.
Всякий раз, проезжая мимо своего места старта, каждый автомо-
биль издавал сигнал. За первый час гонки прозвучали 30 сигналов.
Сколько из них принадлежали «Ахиллесу»?

Обозначим за S1, S2, S3 длины участков АБ, БВ и ВА соответ-
ственно. И пусть α –– отношение скоростей «Черепахи» и «Ахил-
леса». Из условия следует S2 = αS1, S3 = αS2, S1 + S2 = αS3. Отсю-
да α3 = α + 1. Легко видеть (например, можно построить графики
левой и правой частей), что у полученного уравнения есть один
корень, и что находится этот корень в промежутке от 17
13 до 18
12 .
Отсюда и следует ответ.

Есть круговой движущийся траволатор. Дима ходит по этому траволатору в одном и том же направлении, а Андрей ходит рядом с ним в ту же сторону. Дима обгоняет Андрея каждые десять минут. В какой-то момент траволатор стал двигаться с той же скоростью, но в противоположную сторону, и теперь Андрей обгоняет Диму каждые десять минут. Докажите, что скорости Андрея и Димы равны.

Пуcть A и D — расстояние, которое Андрей (без траволатора) и Дима проходят за
10 минут, а t — аналогичное расстояние для траволатора. По условию, Дима на траволаторе
за 10 минут обгоняет Андрея ровно на 1 круг, то есть D+t=A+1 (мы измеряем расстояние в
кругах траволатора, почему бы и нет?). Когда траволатор начал двигаться в обратную сторону,
то получается другое равенство: D-t = A-1. Сложив два равенства, получим 2D = 2A, откуда
D=A, то есть за равное время Дима и Андрей проходят равные расстояния.

Впереди на прямой дороге собака заметила кусок колбасы. Собака бежит к колбасе со скоростью 30км/ч, а потом сразу бежит обратно к хозяину со скоростью 15 км/ч. Хозяин идёт за собакой со скоростью 5 км/ч. Они встретились через 9 минут. Какое расстояние пробежала собака?

По кругу ездят трамваи так, что интервалы движения между двумя последовательными трамваями одинаковы. Вчера трамваев было 10 и интервал движения был 6 минут. Сегодня добавили два трамвая. Каков теперь интервал движения?

Поскольку трамваев десять, а интервал движения был 6 минут, то интервал от трамвая до следующего того же самого (то есть время, за которое трамвай проходит полный маршрут) - 60 минут. Если трамваев 12, то интервал движения будет 60:12=5 минут.

В домике на шоссе живёт велосипедист Олег. Однажды он выехал из дома в магазин. Доехав до магазина, он сообразил, что забыл карточку, и поехал обратно в два раза быстрее. Он так сильно переживал, что проехал мимо своего дома некоторое расстояние. Повернув назад и ещё в два раза увеличив скорость, Олег успешно остановился у дома через 5 часов после того как выехал из него. Сколько времени Олег ехал, удаляясь от своего дома? Ответ дайте в минутах.

Пусть $t$ - время, которое Олег ехал от дома до магазина. Тогда обратно до дома он ехал $t/2$ (так как на обратном пути он удвоил скорость). Пусть теперь $s$ - время, которое Олег ехал от дома после того как проехал его. Тогда к дому он ехал $s/2$ (потому что снова удвоил скорость). Получим, что $t+t/2+s+s/2=300$ минут, то есть $3t/2+3s/2=300$, $t+s=200$ минут. Ровно столоько и ехал Олег, удаляясь от своего дома.

Когда в Петербурге 12:12, то в Новосибирске 15:12. Когда в Новосибирске 13:15, то Якутске 15:15. Самолёт вылетел из Якутска в Петербург в 13:15 и летел 7 часов 40 минут. Во сколько он приземлился? Время вылета и приземления местное.

Разница между Петербургом и Новосибирском 4 часа, между Новосибирском и Якутском - 2 часа в ту же сторону. Значит, разница между Петербургом и Якутском - 6 часов. Когда в Якутске 13:15, в Петербурге 07:15. Прибавляя 7:40 к 7:15, получаем 14:55 - это и есть время прибытия самолёта в Петербурге.

Пёс и кот стащили гирлянду из 76 сосисок и начали её есть одновременно с двух концов. Пёс за минуту съедает вдвое больше сосисок, чем кот. На какой из сосисок со стороны пса они встретятся?

Когдапёс съест 50 сосисок, кот съест 25 сосисок, и останется одна (51-я со стороны пса). На ней и встретятся пёс с котом.

В метро работает два эскалатора, двигающиеся вниз и вверх соответственно с одинаковой скоростью. Люди на этих эскалаторах распределяются равномерно и стоят (т.е. неподвижны относительно эскалатора), но потоки людей, едущих вверх и вниз, неодинаковы. За время движения по эскалатору вниз Петя насчитал 250 человек на встречном эскалаторе. Ровно за тот же отрезок времени Вася, проехавший весь эскалатор вверх, насчитал 300 человек, спускающихся вниз. А сколько человек (в обе стороны) за тот же период времени проедет мимо контролёра, сидящего в будке у основания эскалатора?

Контролёр насчитает половину от суммы людей, сосчитанных Петей и Васей. Поднимающиеся движутся вдвое медленнее относительно контролёра, нежели относительно спускающегося Пети, аналогично со спускающимися.

От головы до хвоста зебры Иппотигриса "--- $360$ полосок одинаковой ширины. Блошка Машка и блошка Дашка поползли от головы зебры к её хвосту. Одновременно с ними блошка Сашка поползла от хвоста к голове. Блошка Дашка ползёт вдвое быстрее блошки Машки. До встречи с блошкой Сашкой Машка преодолела ровно $180$ полосок. Сколько полосок преодолеет блошка Дашка перед тем, как встретится с блошкой Сашкой?

Машка проползла половину зебры. Пусть её скорость $v$, тогда скорость сближения Машки и Сашки $2v$, а скорость сближения Дашки и Сашки $3v$. Значит, Сашка до встречи с Дашкой проползёт в 3/2 раза меньше полосок, чем до встречи с Машкой, т.\,е. 120 полосок. Остальные 240 полосок проползёт Дашка.

Длина эскалатора --- $200$ ступеней. Когда Петя спускается вниз по эскалатору пешком, он успевает насчитать $50$ ступеней. Сколько ступеней он насчитает, если будет бежать в два раза быстрее?

Назовём ступеньку эскалатора, с которой Петя начинает спуск, первой ступенькой. Когда Петя спускается пешком, то он проходит $50$ ступеней. За это время первая ступенька успевает опуститься на $200 - 50 = 150$ ступеней вниз. Следовательно, эскалатор движется в три раза быстрее, чем Петя идёт. Когда Петя побежит, то отношение скоростей будет $3:2$ в пользу эскалатора. Значит, Петя насчитает $200 \cdot 2 : (3 + 2) = 80$ ступеней.

Анастасия, Ольга и Ирина придумывают задачи с разной, но постоянной скоростью. Кто придумал 50 задач, тот идёт отдыхать. Когда Ирина пошла отдыхать, Ольга придумала всего 40. А когда Ольга пошла отдыхать, Анастасия придумала всего 40. Сколько задач придумала Анастасия в момент, когда пошла отдыхать Ирина?

Анастасия придумала 40 задач к тому моменту, когда Ольга придумала 50. Значит, пока Ольга придумывает 10 задач, Анастасия придумывает 8. И ровно 10 задач Ольга придумала с того момента, как Ирина пошла отдыхать. Значит, с тех пор Анастасия придумала 8 задач, и у неё их стало 40. Значит, когда Ирина пошла отдыхать, у Анастасии было придумано 32 задачи.

Ровно в полдень Виктор Геннадьевич и Геннадий Викторович, заметив друг друга на улице, сразу побежали в противоположные стороны. В 12:20 они вспомнили, что на самом деле дружат, и, не меняя своих скоростей, побежали навстречу друг другу. Они встретились в 12:45. Во сколько раз расстояние между ними в 12:20 было больше расстояния между ними в 12:00?
В __ раз.

Когда они бежали навстречу друг другу, то 20 минут ушло на то, чтобы вернуться на свои исходные позиции. После этого им хватило 5 минут, чтобы добежать друг до друга. Это означает, что когда они убегали друг от друга, они пробежали расстояние в четыре раза большее, чем было между ними в начале. Значит, всего расстояние между ними стало в пять раз больше.