Две круглые беговые дорожки имеют длину 3300 м каждая и пересекаются в одной точке. В этой точке стоит мужик. Скорость бега мужика по одной дорожке – 300 м/мин, а по второй – 220 м/мин. На каком минимальном расстоянии (считая по дороге) от исходной точки окажется мужик через 1 ч 20 мин после старта, если он начнет непрерывно бегать по дорожкам, не разворачиваясь? Ответ дайте в метрах.

Один круг мужик пробегает за 11 минут, второй –– за 15 минут. 80 не набрать слагаемыми 11 и 15, значит, расстояние будет ненулевое. С другой стороны, меньше, чем на минуту бега от старта мужик оказаться не может (потому что время прохождения каждого круга –– целое число минут). Таким образом, искомое расстояние не меньше 220 метров. Пример, когда оно достигается: сначала пробежать 6 раз первый круг, на это уйдёт 66 минут, затем оставшиеся 14 бежать по второму.

В разные моменты времени из пунктов А и В, выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, находящейся на расстоянии 4 км от А, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D, которая находится в 7 км от А. Развернувшись, они вновь поехали к своим пунктам. И т.д. На каком расстоянии от А произойдет их 2025 встреча? Ответ дайте в километрах.

Докажем, что все нечётные встречи будут происходить в точке C, а все чётные - в точке D. Пусть велосипедист потратил время $t$ на то, чтобы доехать из С в А, развернуться и доехать до D. Но мотоциклист потратил то же самое время (раз они встретились), чтобы доехать из С в В, развернуться и добраться до D! Ровно то же время потребуется велосипедисту, чтобы добраться от D до А и от А до С (это тот же путь). И мотоциклисту, чтобы добраться от D до B, развернуться и доехать до C. Следовательно, следующая после D встреча будет в точке С.

Отсюда получим, что 2025 всреча будет в точке С, т.е. в 3 км от А.

Дорога между пунктами A и B состоит только из наклонных участков: иногда она идёт в гору (вверх), а иногда под гору (вниз). Никита идёт в гору со скоростью 3 км/ч, а под гору со скоростью 5 км/ч. Первую половину пути из A в B он прошёл за 32 минуты, а вторую половину –– за 37 минут. Возвращаясь из B в A, он преодолел первую половину пути за 36 минут. Сколько времени
ему потребуется на вторую половину? Ответ запишите в минутах.

Рассмотрим ту половину пути, которая ближе к B. Никита прошёл её дважды: в одном направлении за 37 минут, в другом за 36, т. е. суммарно потратил 73 минуты. Каждый из наклонных участков за это время пройден один раз вверх и один раз вниз, поэтому общая длина пути вверх равна общей длине пути вниз. Значит, чтобы пройти полдороги вверх и полдороги вниз, нужно 73 минуты. Но то же самое верно и для другой половины пути, т. е. её преодоление в обе стороны тоже занимает 73 минуты. Поскольку в одну сторону Никита прошёл её за 32 минуты, то на обратный путь ему нужна 41 минута.

Восьмого марта Рома проснулся, позавтракал и решил поздравить с праздником свою подругу Юлю. В полдень он отправился к её дому со скоростью 5 км/ч. По пути он увидел цветочный магазин и понял, что без букета цветов приходить нехорошо. Мгновенно выбрав самый большой букет, он отправился дальше --- со скоростью 4~км/ч, т.к. букет мешал идти быстрее. Потом на пути Ромы попался кондитерский магазин, Рома мгновенно купил там самый большой торт и пошёл дальше --- уже со скоростью 3 км/ч. В 15.30 он оказался у Юлиного дома и обнаружил, что Юля ушла пять минут назад. Оказалось, что первые два участка пути имели одинаковую длину, а последние два участка заняли одинаковое время. Найдите расстояние от дома Ромы до дома Юли. Ответ дайте в метрах.

Обозначим за $4x$ первую часть пути. По условию, вторая часть пути тоже равна $4x$, а третья тогда равна $3x$. Итого весь путь занимает $11x$. Сосчитаем время: $\frac{4x}{5}+\frac{4x}{4}+\frac{3x}{3}=\frac{14x}{5}=3,5$ часа. Отсюда $x=\frac{5}{4}$ км, и $11x=\frac{55}{4}$ км = 13750 м.

Кот в сапогах прибежал из деревни в город на четырёх лапах, а на обратный путь из города в деревню он затратил в два раза больше времени, т.к. часть пути бежал на трёх лапах, а остальную часть --- шёл на двух лапах. Известно, что Кот идёт на двух лапах в 8 раз медленнее, чем бежит на четырёх, а его скорость на трёх лапах равна 3/4 от его скорости на четырёх. Какую часть пути он шёл на двух лапах?

Пусть $x$ --- часть пути, которую Кот прошёл на трёх лапах, а $y$ --- на двух лапах. Пусть скорость Кота на 4 лапах равна 8 (некоторых единиц скорости), тогда его ткорость на трёх лапах --- 6, а на двух --- 1. Время, затраченное на путь из деревни в город, равно $\frac{x+y}{8}$, а обратно --- $\frac{x}{6}+\frac{y}{1}$. Отсюда $2\cdot \frac{x+y}{8}=\frac{x}{6}+y$ (на обратный путь ушло вдвое больше времени), откуда, домножив на 12, получим $3x+3y=2x+12y$, откуда $x=9y$, т.е. расстояние, пройденное на двух лапах, в 9 раз меньше расстояния, пройденного на трёх лапах. Отсюда следует ответ.

По кругу ездят трамваи так, что интервалы движения между двумя последовательными трамваями одинаковы. Вчера трамваев было 10 и интервал движения был 6 минут. Сегодня добавили два трамвая. Каков теперь интервал движения? Ответ дайте в минутах.

Поскольку трамваев десять, а интервал движения был 6 минут, то интервал от трамвая до следующего того же самого (то есть время, за которое трамвай проходит полный маршрут) - 60 минут. Если трамваев 12, то интервал движения будет 60:12=5 минут.

В домике на шоссе живёт велосипедист Олег. Однажды он выехал из дома в магазин. Доехав до магазина, он сообразил, что забыл карточку, и поехал обратно в два раза быстрее. Он так сильно переживал, что проехал мимо своего дома некоторое расстояние. Повернув назад и ещё в два раза увеличив скорость, Олег успешно остановился у дома через 5 часов после того как выехал из него. Сколько времени Олег ехал, удаляясь от своего дома? Ответ дайте в минутах.

Пусть $t$ - время, которое Олег ехал от дома до магазина. Тогда обратно до дома он ехал $t/2$ (так как на обратном пути он удвоил скорость). Пусть теперь $s$ - время, которое Олег ехал от дома после того как проехал его. Тогда к дому он ехал $s/2$ (потому что снова удвоил скорость). Получим, что $t+t/2+s+s/2=300$ минут, то есть $3t/2+3s/2=300$, $t+s=200$ минут. Ровно столоько и ехал Олег, удаляясь от своего дома.

Винни-Пух вышел с некоторой скоростью в гости к Кролику. Он посчитал, что если все время будет идти с этой скоростью, то дойдет ровно за час. На трети дороги ему встретился Пятачок. Следующие десять минут Винни-Пух беседовал с ним. Затем он увеличил скорость в два раза и успел бы вовремя, но ровно посередине оставшегося пути на дорогу выскочил Тигра и семь минут рассказывал Винни анекдоты. Во сколько раз (относительно исходной)
Винни-Пух теперь должен увеличить свою скорость, чтобы прибыть к Кролику в намеченное время? Если число нецелое, запишите его несократимой дробью.

На треть дороги Винни потратит 20 минут, так как за 1 час проходит три такие части пути. После разговора с Пяточком уже прошло 30 минут. Ускоряясь в 2 раза, он половину от оставшегося пути (т. е. ещё одну треть всего пути) пройдет за 20 : 2 = 10 минут. После разговора с Тигрой прошло 47 минут или же осталось 13 минут. Если за 20 минут он проходит треть с исходной скоростью, то нам надо за 13 минут. Значит, скорость должна быть выше в 20/13 раза.

Поезд с Курского вокзала  до Петушков идет 2 часа 33 минуты с постоянной скоростью и нигде не останавливается. Когда Веня проехал треть пути, он лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, который он проспал. Сколько всего минут спал в поезде Веня?

Переведём время в минуты. Поезд идёт 2 ч 33 минуты = 153 минуты. Поезд проехал треть пути за 153 : 3 = 51 минуту. Значит, ему оставалось ехать еще 153 − 51 = 102 минуты. В этот момент Веня лег спать. По условию, спал Веня до тех пор, когда ему осталось проехать половину пути, который он проспал. Значит, весь оставшийся путь можно поделить на три равные части: две
из них он проспал, а еще одну ехал уже проснувшимся. Длительность одной части составляет 102 : 3 = 34 минуты, а спал Веня две такие части, значит, он спал 2 · 34 = 68 минут.

Когда в Петербурге 11:12, то в Новосибирске 15:12. Когда в Новосибирске 13:15, то Якутске 15:15. Самолёт вылетел из Якутска в Петербург в 13:15 и летел 7 часов 40 минут. Во сколько он приземлился? Время вылета и приземления местное.

Разница между Петербургом и Новосибирском 4 часа, между Новосибирском и Якутском - 2 часа в ту же сторону. Значит, разница между Петербургом и Якутском - 6 часов. Когда в Якутске 13:15, в Петербурге 07:15. Прибавляя 7:40 к 7:15, получаем 14:55 - это и есть время прибытия самолёта в Петербурге.

Братья Яков и Юрий гуляют по аллее. Длина всего пути составляет 3 километра. Яков идет со скоростью 100 м/мин, а Юрий со скоростью 120 м/мин. Каждый раз, когда Яков видит скамейку, он садится на нее и отдыхает одно и то же время. Юрий, видя скамейку, садится на нее и отдыхает вдвое дольше Якова. В итоге братья пришли к магазину в конце аллеи одновременно. Какое время в сумме сидел на скамейках Юрий? Ответ дайте в минутах.

Во-первых, переведем длину пути в метры: 3 км = 3000 м. Поэтому без остановок Яков прошел бы этот путь за 3000 : 100 = 30 минут, Юрий — за 3000 : 120 = 25 минут. Разница между ними составляет 30 − 25 = 5 минут. Значит, на столько минут дольше отдыхал Юрий, чем Яков. По условию,
Юрий отдыхал в 2 раза дольше Якова. Поэтому эти 5 минут составляют половину времени, которое отдыхал Юрий. Значит, всего Юрий отдыхал 5 · 2 = 10 минут.

Тигра поднимается и спускается с дерева с одинаковой и постоянной скоростью. Винни Пух поднимается на дерево вдвое медленнее Тигры, зато спускается вдвое быстрее Тигры. Каждому из них нужно подняться на дерево и спуститься с него. Начали они одновременно. Пух справился с заданием за 20 минут. Сколько минут на это ушло у Тигры?

Путь наверх у Пуха занял в 4 раза больше времени, чем путь вниз. Значит, Пух потратил 16 минут на подъём и 4 минуты на спуск. Следовательно, Тигра тратил на подъём и на спуск по 8 минут.

Винни Пух вышёл в гости к Иа в полдень. Изначально Пух хотел подарить Иа полный горшочек мёда. Но точно посередине пути Пух проголодался, сел и за полчаса съел весь мёд, после чего потяжелел и пошёл до Иа уже вдвое медленнее. К ослику Пух пришёл в 15.30. Во сколько Пух начал есть мёд?

Откинем время обеда и получим 3 часа чистого пути. Вторую половину Пух шёл вдвое медленнее первой, а значит, потратил на неё вдвое больше времени. Следовательно, треть времени пути (т.е. 1 час) Пух потратил на первую половину.

Андрей шёл по дороге с постоянной скоростью 5 км/ч. Длина дороги - 20 км, но Андрей несколько раз по пути отдыхал, каждый раз тратя на отдых по 5 минут. В итоге его путь занял 4 часа 20 минут. А сколько раз он отдыхал?

Если бы Андрей не отдыхал, то прошёл весь путь за 4 часа ровно. Значит, 20 минут были потрачены на отдых. Так как каждый перерыв был пятиминутным, то всего было 20:5=4 перерыва.

Иногда Совунья добирается до своей работы на велосипеде, а иногда ходит пешком. Вчера Совунья до работы шла пешком, а обратно ехала на велосипеде, и потратила на дорогу суммарно 40 минут. Сегодня Совунья в обе стороны ехала на велосипеде, и потратила на всю дорогу всего 20 минут. Завтра Совунья собирается в обе стороны идти пешком. Сколько времени у нее займет путь при той же скорости? Ответ запишите в минутах.

Так как сегодня на дорогу в обе стороны потратила 20 минут, то в одну сторону она едет 10 минут. Значит, из тех 40 минут, что она потратила на дорогу вчера, лишь 10 минут она ехала обратно на велосипеде, с остальные 40 − 10 = 30 минут шла пешком. Поэтому завтра на весь путь она потратит в два раза больше времени, чем она тратит на путь пешком в одну сторону, то есть 30 · 2 = 60 минут, или 1 час.

Дорога составляет 9 км. Часть пути Миша шёл со скоростью 5 км/ч, а потом устал и шёл со скоростью 4 км/ч. Мишин путь занял 2 часа. Сколько километров он шёл, пока не устал?

Пусть $x$ - длина первого участка пути, а $9-x$ - второго. Посчитаем время: $\frac{x}{5}+\frac{9-x}{4}=2$, откуда $x=5$.

Между городами А и В 160 км. Красный автомобиль едет из города А в город В со скоростью 80 км/ч. Синий автомобиль едет из В в А со скоростью 120 км/ч. Они стартовали НЕ одновременно, а встретились точно посередине между А и В. На сколько минут позже красного стартовал синий автомобиль?

Каждый автомобиль должен проехать по 80 км. Красный это расстояние проедет за час, синий за 40 минут. Значит, синий автомобиль стартует позже красного на 20 минут.