Среди приведённых высказываний найдите такие утверждения А и Б, что из А следует Б.

В ответ запишите пары пунктов высказываний без пробела. Если ответов несколько, запишите их все через пробел.

Например,

вг аб

(Для въедливых: мы считаем истиной, что существует хотя бы одно какое-нибудь число.)

а) Все числа чётные,

б) Все числа нечётные,

в) Пять - чётное число,

г) Существуют нечётные числа.

Если все числа чётные, то и 5 - чётное число. Если все числа нечётные, то существует нечётное число (мы предполагаем, что числа существуют). Остальные пары утверждений не являются следствиями друг друга.

Найдите утверждения, означающие одно и то же. 

а) Если машина не красная, то она быстрая,

б) Если машина не быстрая, то она красная,

в) Если машина красная, то она быстрая,

г) Если машина быстрая, то она красная.

Высказывание вида "Если А, то Б" равносильно высказыванию "Если не Б, то не А" (так работает любое доказательство от противного). Значит, высказывания а) и б) равносильны.

Остальные пары высказываний не равносильны. В самом деле, если машина красная и не быстрая, то верно а) (потому что в а) ничего не говорится про ситуацию, в которой машина красная) и неверно в), поэтому а) и в) не равносильны. Высказывания а) и г) имеют разную истинность в случае, если машина быстрая, но не красная. А высказывания в) и г) имеют разную истинность, например, в том же случае не красной и быстрой машины - в) верно, г) нет.

Какое высказывание является отрицанием к утверждению

<<В Адыгее есть высокие горы и бурные реки>>?

а) В Адыгее нет ни высоких гор, ни бурных рек,

б) В Адыгее нет высоких гор или бурных рек,

в) Любая гора в Адыгее невысокая, а любая река - не бурная,

г) Любая гора в Адыгее не высокая, или любая река - не бурная.

У нас есть высказывание типа "А и Б".

Его отрицание - "Не А или не Б".

В данном случае А - "В Адыгее есть высокие горы"

(отрицание - "В Адыгее нет высоких гор" или "Любая гора в Адыгее не высокая"),

а Б - "В Адыгее есть бурные реки"

(отрицание: "В Адыгее нет бурных рек" или "Любая река в Адыгее не бурная").

Какое из высказываний является отрицанием утверждения

<<Если гора не идёт к Магомету, то Магомет идёт к горе>>?

а) Если гора идёт к Магомету, то Магомет идёт к горе,

б) Если Магомет не идёт к горе, то и гора не идёт к Магомету,

в) Если Магомет не идёт к горе, то гора идёт к Магомету,

г) Гора не идёт к Магомету, и Магомет не идёт к горе,

д) Гора не идёт к Магомету, или Магомет не идёт к горе,

е) Гора не идёт к Магомету, и Магомет идёт к горе,

ж) Гора идёт к Магомету, или Магомет идёт к горе.

Когда ложно утверждение "Если гора не идёт к Магомету, то Магомет идёт к горе"? Когда часть "Гора не идёт к Магомету" истинна, а часть "Магомет идёт к горе" ложно. Значит, отрицанием является высказывание г).

Какое из высказываний является отрицанием к утверждению:

<<В Австралии существуют кролики, и все овцы там белые>>?

а) В Австралии не существует кроликов, или же там существует не белая овца.

б) В Австралии не существует кроликов, и там существует не белая овца.

в) В Австралии не существует ни кроликов, ни белых овец.

г) В Австралии все белые овцы являются кроликами.

У нас есть высказывание со структурой

"Утверждение А и утверждение Б".

Его отрицание -

"Отрицание А или отрицание Б".

В качестве А выступает высказывание

"В Австралии существуют кролики"

(отрицание - "в Австралии не существует кроликов"),

в качестве Б - "Все овцы в Австралии белые"

(отрицание - "Существует не белая овца в Австралии").

Какое из высказываний является отрицанием утверждения

<<Все числа - простые или чётные>>?

а) Все числа не простые и нечётные.

б) Все числа не простые или не чётные.

в) Найдётся число, являющееся не простым и не чётным.

г) Найдётся число, являющееся не простым или не чётным.

Если неверно, что любое число - простое или чётное, значит, найдётся число, не являющееся ни простым, ни чётным.

Какое из высказываний является отрицанием утверждения

<<В Африке существует розовый слон>>?

а) Все розовые слоны находятся не в Африке.

б) Существует розовый слон, находящийся не в Африке.

в) Любой слон из Африки – не розовый.

г) В Африке все слоны розовые.

Если неверно, что в Африке существует розовый слон, то там нет розовых слонов (т.е. любой слон не розовый).

Какое из высказываний является отрицанием утверждения

<<Все овцы в Австралии белые>>?

а) В Австралии нет белых овец.

б) Все белые овцы живут в Австралии.

в) Все белые овцы не живут в Австралии.

г) Существует не белая овца в Австралии.

Если неверно, что все овцы в Австралии белые, то какая-то из овец там не белая.

Какие из утверждений истинны:

а) если 2 × 2 = 4, то 2 = 2;

б) если 2 × 2 = 4, то 2 = 0;

в) если 2 × 2 = 5, то 2 = 2;

г) если 2 × 2 = 5, то 2 = 0?

Из истинного утверждения следует только истинное, а из ложного - что угодно. Таким образом, утверждения (а), (в) и (г) истинны, а (б) - ложно.

Выберите верные утверждения. 

а) Если число делится на 2, то оно делится и на 4.

б) Если число делится на 4, то оно делится и на 2.

в) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

г) Если число делится на 4 и на 6, то оно делится и на 24.

д) Если число делится на 4 и на 6, то оно делится и на 12.

е) Если число делится на 24, то оно делится на 3 и на 5.

ж) Если число делится на 24, то оно делится на 3 или на 5.

Отметьте истинные утверждения. 

а) Число 28 делится на 3 и на 4.

б) Число 28 делится на 3 или на 4.

в) Число 27 делится на 3 или на 4, и при этом не делится на 5.

г) Число 24 делится на 3, но не делится ни на 5, ни на 6.

Утверждение а) неверно, так как 28 не делится на 3.

Утверждение г) неверно, так как 24 делится на 6.

Остальные утверждения верны.

При каких n утверждение

<<Число n делится на 3 или на 4>>

является ложным?

При n равном 30, 32 или 36 утверждение истинно:

30 делится на 3,

32 делится на 4,

36 делится и на 3, и на 4.

Значит, осталься только один вариант. При n=34 утверждение ложно, так как 34 не делится на 3 и не делится на 4.

При каких n утверждение

<<Число n делится на 2 или на 3>>

является истинным?

Число 33 делится на 3, число 34 - на 2, 36 - и на 2, и на 3, поэтому все перечисленные варианты подходят.

Число 35 не подходит, так как оно не делится ни на 2, ни на 3.

Для каких n утверждение

<<Число n делится на 3 и не делится на 2>>

истинно?

Из перечисленных только 33 делится на 3 и не делится на 2.

Продолжите утверждение

<<Число 24 делится на 3 и на ...>>

так, чтобы оно было истинным.

Число 24 не делится ни на 5, ни на 7, ни на 10.