Петя и Вася выписывают 10-значное число, ставя ненулевые цифры по очереди, начиная с самой правой цифры и далее справа налево. Начинает Петя. Петя выигрывает, если полученное в конце число будет простым. Сможет ли Вася помешать Пете выиграть?

Способ 1.

До последнего хода Вася может играть как угодно, а последним ходом поставить цифру так, чтобы сумма цифр полученного числа стала делиться на 3 (достаточно выбрать одну из цифр 1,2,3). Значит, полученное 10-значное число ​будет делиться на 3, и следовательно, не будет простым числом.

Способ 2.

Васе достаточно повторять за Петей его ходы. В ответ на любую ненулевую цифру Пети Вася сможет записать такую же. В итоге десятизначное число будет делиться на 11, и следовательно, не будет простым числом.

У Гриши четыре карточки с цифрами 3,4,5,6. Помогите ему составить наибольшее возможное четырёхзначное число, делящееся на 33. Какое число получилось?

Число должно делиться на 33, т.е. одновременно делиться на 3 и на 11. На 3 число будет делиться всегда, так как сумма цифр 3+4+5+6 делится на 3. Самое большое возможное число - 6543. Но оно не делится на 11, так как 6-5+4-3 не делится на 11. Следующее число - 6534. Оно делится на 11, так как 6-5+3-4=0 делится на 11. Значит, 6534 нам подходит.

Известно, что число $172\star\star$ (c двумя неизвестными последними цифрами) делится на 110. Чему равно частное?

Последняя цифра точно 0. Остается поделить число 172* на 11. Предварительно найдем *: по признаку делимости на 11, 1-7+2-* должно делиться на 11, т.е. -4-* должно делиться на 11. Отсюда *=7, и наш ответ: 1727:11=157.

Сколько чисел среди данных, делятся нацело на 11?: 3251, 77777, 1001, 10001, 209.

Воспользуемся признаком делимости на 11: сумма цифр на четных местах минус сумма цифр на нечетных местах делится на 11.

3-2+5-1 = 5 - не делится на 11,

7-7+7-7+7 = 7 - не делится на 11,

1-0+0-1=0 - делится на 11,

1-0+0-0+1=2 - не делится на 11,

2-0+9=11 - делится на 11.

Итого 2 числа из 5.

77777=7*11111

1001=7*11*13

Является ли четным число 1111...1112 : 2? (всего в записи первого числа 100 единиц)

Воспользуемся признаком делимости на 4:  последние цифры должны образовать число, делящееся на 4. У нас это число - 12. Значит, наше число делится на 4, поэтому после деления на 2 в частном окажется четное число. 

Признак делимости на 4. Число дает такой же остаток от деления на 4 как и число, образованное последними двумя цифрами.

Какое наименьшее количество цифр "9" нужно выписать подряд, чтобы получилось натуральное число, делящееся на 81?

Заметим, что 999...9 = 9 x 111...1. Значит.  число 999...9 делится на 81 = 9x9 тогда и только тогда, когда 111...1 делится на 9. По признаку делимости на 9, это выполнено, когда сумма цифр числа 111...1 делится на 9, т.е. когда количество цифр в этом числе делится на 9. Наименьшее подходящее количество - 9.

Какую цифру надо прибавить к числу $2022\cdot 2023\cdot 2024$, чтобы результат делился на 10?

Последняя цифра данного произведения совпадает с последней цифрой произведения 2·3·4, и следовательно, она равна 4. Остается понять, какую цифру нужно прибавить, чтобы результат делился на 10, т.е. оканчивался на 0. Таким образом, нужная нам цифра - 6.

В произведении последяя цифра завист только от произведения последних цифр сомножителей.

Яну нравятся числа, делящиеся на 12. На какую цифру надо заменить букву d в числе 4445556d6 так, чтобы получилось число, которое нравится Яну? (укажите все возможности через пробел)

 Наше число должно делиться на 12=3x4, т.е. одновременно делиться на 3 и на 4. Тогда сумма цифр 4+4+4+5+5+5+6+d+6; должна делится на 3, поэтому  цифра d делится на 3. Теперь из четырех возможностей (0, 3, 6, 9) надо выбрать такие, чтобы наше число делилось на 4, т.е. согласно признаку делимости на 4, чтобы число, образованное двумя последними цифрами, делилось на 4. Подходят цифры d=3 и d=9.

Сумму цифр можно не считать в лоб. 

Заметим, что четверки и пятерки в записи используются кратное трем число раз, а остальные цифры делятся на 3. 

Запишите наименьшее из чисел, которое делится на 15 и может быть получено из числа 258741 перестановкой цифр.

Наше число должно делиться на 15=3x5, т.е. одновременно делиться на 3 и 5. Сумма цифр делится на 3, значит число будет делиться на 3 после любой перестановки цифр. Так как число должно делиться на 5, последней цифрой из данных цифр может быть только 5. Теперь, чтобы наше число оказалось наименьшим, остальные цифры надо поставить в порядке возрастания. Получаем результат: 124785.

Соня выучила только цифры 3 и 5. Какое наименьшее натуральное число, делящееся на 45, может написать Соня?

Число должно делиться на 45=5x9, т.е. одновременно делиться на 5 и на 9. Последняя цифра - точно цифра 5. Теперь используем условие делимости на 9: сумма цифр должна делиться на 9. Двузначное число - 35 или 55 - не годится. Трехзначное ab5 тоже не сработает:сумма цифр a+b+5 будет не меньше 3+3+5=11 и не больше 5+5+5=15. Четырехзначное число может получиться только с суммой цифр 18 - оно состоит из трех цифр 5 и одной цифрой 3. Наименьшее из таких чисел - 3555.

Какое наименьшее количество цифр "2" нужно выписать подряд, чтобы получилось число, делящееся на 18?

18=9x2. Т.е. наше число должно одновременно делиться на 9 и на 2. На 2 оно будет делиться всегда, так как последняя цифра четна. Для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр, т.е. удвоенное количество цифр, делилось на 9. Значит, наименьшее возможное количество цифр - 9. 

Число 10 умножили на себя 2023 раза и прибавили к результату 98. Будет ли полученное в результате число делиться на 9?

В результате получится число вида 1000...0098. Его сумма цифр равна 18. Она делится на 9, а значит и само число делится на 9.

Иногда не нужно считать сумму цифр, а достаточно считать остаток.

Число и сумма всех его цифр дает одинаковый остаток при делении на 9

У Сени есть 5 карточек с цифрами 1,2,4,5,8. Помогите Сене сложить, используя некоторые из карточек, наибольшее возможное число, делящееся на 3.

Используем признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3. Все 5 карточек использовать не получится: сумма цифр 1+2+4+5+8 не делится на 3. Далее пробуем убрать одну карточку: среди четырехзначных чисел, которые можно так получить, самое большее  число - 8542 - оно не подходит; следующее число - 8541 - и оно подходит.

В следующем ряду чисел укажите числа, делящиеся на 3, но не делящиеся на 9:

а) 777777; б) 888; в) 567; г) 11011011; д) 73737.

Воспользуемся признаками делимости на 3 и 9. Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3. Признак делимости на 9: сумма цифр делится на 9. Согласно этим признакам, числа 777777 и 11011011 делятся на 3, но не делятся на 9. Остальные числа в данном ряду делятся на 9.

Признак делимости на 3 (на 9) удобно использовать в форме равноостаточности.

Число дает одинаковый остаток при делении на 3 (на 9) с суммой всех его цифр

Тогда не нужно складывать, можно  выкидывать числа кратные 3 (9)

Первоклассница Маша выучила только цифры 0 и 4. Какое наименьшее натуральное число, делящееся на 15, может написать Маша?

Так как 3x5 = 15, наше число должно одновременно делиться на 3 и на 5. Число не может оканчиваться на 4, так как делится на 5. Значит, последняя цифра точно 0. Чтобы число делилось на 3, его сумма цифр должна делиться на 3, поэтому в десятичной записи числа должно быть хотя бы 3 цифры 4. Таким образом, 4440 - наименьшее возможное число. 

Первоклассница Маша выучила только цифры 0 и 4. Какое наименьшее натуральное число, делящееся на 15, может написать Маша?

На доске записаны числа:

1) 6644, 2) 6666, 3) 4466, 4) 20232022,
5) 13579, 6) 111116, 7) 10080, 8) 2004.

Укажите те из них, которые делятся на 4.

Используем признак делимости на 4: две последние цифры образуют число, делящееся на 4. Получаем, что среди приведенных чисел числа

6644, 111116, 10080 и 2004 делятся на 4, а остальные - нет.

6644, 111116, 10080, 2004

Сколько среди чисел, выписанных ниже, делятся на 5?

1005, 1010, 5001, 5010, 5100, 1510, 1115, 1551

Используем признак делимости на 5: последняя цифра - 0 или 5, получаем: 

1005, 1010, 5010, 5100, 1510, 1115 - делятся на 5, 

а 5001 и 1551 - не делятся.

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 20 до 30. Получилось число 202224262830. Делится ли это число на 20?

Можно заметить, что после деления на 10 (зачеркивание последнего нуля) получается нечетное число. Значит, исходное число не делится на 20.

Делимость на 20 это делимость на 4 и 5. 4 и 5 взаимнопросты 

Используем призак делимостина 4

В 202224262830    30 не делится на 4.

Тимур поделил некоторое двузначное число на 5. Число поделилось нацело, и в частном получилась последняя цифра исходного числа. Найдите исходное число.

Так как исходное число поделилось нацело на 5, то его последняя цифра - 0 или 5. Но последняя цифра 0 не подходит. Значит, эта цифра - 5, и само число 5x5 = 25.

123

Напишите двузначное число, которое в 9 раз больше суммы своих цифр.

Число должно делиться на 9, значит его сумма цифр должна делиться на 9. Но тогда получается, что эта сумма цифр - 9 или 18. В первом случае наше число - 9x9 = 81. Оно подходит. Во втором случае число 9x18 не двузначное - не подходит.