На острове Логики живут рыцари (всегда говорящие правду), лжецы (всегда говорящие неправду) и софисты. Софист может произносить только такие фразы, которые на его месте не смогли бы сказать ни рыцарь, ни лжец. Например, стоя рядом со лжецом, софист может сказать фразу <<Мы оба лжецы>> (потому что если бы он был рыцарем, то такая фраза была бы ложью, а если бы он был лжецом, она была бы истиной).
Однажды софист произнёс три утверждения о жителях острова:

1. На острове живут ровно 25 лжецов.

2. На острове живут ровно 26 рыцарей.

3. Софистов на острове не меньше, чем рыцарей.

Сколько всего человек живут на острове?

Назовём софиста, который произнёс эти утверждения, Лёшей.

1.    Если бы Лёша был лжецом, то первая фраза была бы правдой, то есть лжецов было бы 25. Значит, на самом деле (без Лёши) их 24.

2.    Если бы Лёша был лжецом, то вторая фраза была бы правдой, то есть рыцарей было бы 26. Значит, их и на самом деле 26.

3.    Если бы Лёша был лжецом, то третья фраза была бы правдой --- софистов на острове было бы не меньше, чем рыцарей, то есть не меньше 26. На самом деле (с учётом Лёши) софистов на одного больше, то есть не меньше 27.

4.    Если бы Лёша был рыцарем, то третья фраза была бы ложью, то есть софистов было бы меньше, чем рыцарей. Это значит, что <<софистов без Лёши>> меньше, чем <<рыцарей с Лёшей>>. Мы знаем, что рыцарей с Лёшей 26+1=27, значит, софистов без Лёши не больше 26. Значит, с учётом Лёши софистов не больше 27.

5.    Из пунктов 3 и 4 следует, что софистов ровно 27. Прибавляя 24 лжеца и 26 рыцарей (см. пункты 1 и 2), получаем суммарно 77 человек.

В галактике Кин-Дза-Дза живут пацаки и чатлане. У них принято говорить правду, если в помещении присутствуют представители обеих рас, и врать среди своих. Собрались в комнате трое жителей планеты. Первый сказал: <<Я пацак>>, и вышел из помещения. Второй сказал: <<А я чатланин>>. Определите, кем является каждый из них. Не забудьте доказать, что другие варианты невозможны.

Первый __, второй __, третий __

Допустим, первый житель солгал. В таком случае он является чатланином, как и все остальные в помещении. Однако, в такой ситуации второй житель также должен был сказать, что он пацак, а этого не произошло. Следовательно, первый "--- пацак. Его утверждение является верным, а значит среди оставшихся жителей есть хотя бы один чатланин. Двое чатлан остаться не могло, ведь в таком случае второй сказал правду, хотя должен был солгать. Стало быть в комнате остались представители обеих рас и второй сказал правду.

В комнате находятся три человека разных типов: рыцарь (всегда говорит правду), лжец (всегда лжёт) и хитрец (может говорить всё, что хочет). Первый из них сказал, что остальные два одного типа, второй – что остальные двое разных типов, а третий – что первый хитрец. Кто из них к какому типу относится?

Первый __, второй __, третий __

Мы знаем, что все трое – разных типов. Поэтому первый солгал, а второй сказал правду. Лгать может лжец либо хитрец. Если первый хитрец, то утверждение третьего истинно, но тогда получается, что и лжец, и рыцарь сделали истинные утверждения, что невозможно. Если же первый лжец, то утверждение третьего «первый – хитрец» ложно, поэтому третий тоже солгал, значит, именно он хитрец. Окончательно получаем: первый – лжец, второй – рыцарь, третий – хитрец.

На острове есть две деревни. В одной из них живут рыцари,
которые всегда говорят правду, а в другой --- лжецы, которые всегда лгут.
Трое жителей острова --- A, B и C --- собрались вместе и произнесли:

--- И B, и C говорят правду, --- сказал A.

--- Хотя бы один из A и C говорит правду, --- сказал B.

   Найдите среди них тех, кто гарантированно из одной деревни.

Если A говорит правду, то все трое из деревни рыцарей, и можно указать на любую пару. Пусть теперь A лжёт. Если лжёт также B, то все трое лжецы (и можно также указать на любую пару). Если B говорит правду, а A лжёт, то C должен быть рыцарем.

В круг встало несколько индейцев и несколько бледнолицых - всего 100 человек. Индейцы говорят правду индейцам и лгут бледнолицым, а бледнолицые говорят правду бледнолицым и лгут индейцам. Каждый сказал своему соседу справа: <<Ты индеец>> или: <<Ты бледнолицый>>. Известно, что было произнесено 40 фраз <<Ты индеец>>. Сколько было бледнолицых?

Фразу <<Ты индеец>> мог сказать только индеец (он мог сказать это как индейцу, так и бледнолицему). Аналогично фразу <<Ты бледнолицый>> мог сказать (кому угодно) бледнолицый. Значит, индейцев 40, а бледнолицых 60.

Из пятерых детей некоторые всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Серёжа сказал Никите, а потом Вите: <<Ты правдивый парень.>> После этого он сказал Саше, а затем Паше: <<Ты лгун!>> Кого из перечисленных назовёт лгуном Паша?

Если Серёжа правдив, то Паша лгун (поскольку так сказал Серёжа). Если, напротив, Серёжа лгун, то он солгал относительно Паши, то есть в этом случае Паша правдив. Значит, в любом случае из Паши и Серёжи один мальчик правдивый, а другой нет. В частности, любое Пашино высказывание противоречит Серёжиному высказыванию на ту же тему. Следовательно, Паша назвал бы Никиту и Витю лгунами, а Саше он сказал бы: <<Ты правдивый парень!>>

Наконец, заметим, что (кем бы он ни был) Серёжа сказал бы про себя:
<<Я правдив>>. Следовательно, Паша назвал бы Серёжу лгуном. Таким
образом, Паша назвал бы Сережу, Никиту и Витю лгунами, а Сашу
правдивым парнем.

На доске написано двузначное число, а Петя, Вася и Коля пытаются поделить это число.

        Петя: это число делится на 8, на 3 и на 5.
 
        Вася: это число делится на 3, на 7 и на 8.
 
        Коля: это число делится на 7, на 5 и на 8.
 
    Известно, что каждый мальчик два раза ошибся и один раз сосчитал верно. Выясните, каким могло быть это число (приведите все варианты).

Утверждение <<число делится на 8>> встречается три раза, а каждое из утверждений о делимости на 3, 5 и 7 --- по два раза. Так как всего дано три правильных ответа, то наше число делится на 8 и не делится на числа 3, 5 и 7. Кроме того, это число двузначное, поэтому есть только четыре варианта: 16, 32, 64, 88. (Число равно $8t$, где $1<t<13$, причём в разложении $t$ на простые множители участвуют только 2 и 11).

Петя, Коля, Саша и Игорь заняли первые четыре места в соревнованиях по лузганью семечек. В качестве приза за первое место выдали 4 мешка семечек, за второе --- 3, за третье --- 2, а за четвертое --- 1 мешок. Известно, что Петя, Саша и Игорь вместе получили меньше 9 мешков; Коля, Саша, Игорь --- меньше 8 мешков; Петя, Коля и Саша --- меньше 7 мешков. Определите, какое место занял каждый из ребят (напишите словами).

Петя __, Коля __, Саша __, Игорь __

Нам дано, что Петя, Коля и Саша набрали меньше 7 мешков, но меньше шести мешков они набрать не могли, значит, они заняли последние 3 места, а Игорь был первым. Коля, Саша, Игорь получили меньше 8 мешков, но Игорь получил 4 мешка, то есть Коля и Саша получили меньше четырех мешков, но меньше трех мешков они получить не могли. Таким образом, они получили 3 мешка и заняли 3 и 4 места. Следовательно, Петя занял второе место. Теперь ответ легко следует из первого условия.

Дима, Саша, Коля, Глеб выступили на олимпиаде и заняли первые четыре места. Через год их одноклассникам по обрывочным данным удалось восстановить лишь три факта: <<Дима занял первое место или Глеб --- третье>>, <<Глеб занял второе место или Коля --- первое>>, <<Саша занял третье место или Дима --- второе>>. Кто выступил лучше --- Дима или Саша?

Посмотрим на первую фразу: верно хотя бы одно из составляющих её
утверждений (могут быть верны и оба). Если Дима первый, то он точно выступил лучше Саши. Пусть Глеб третий, тогда согласно второй фразе Коля первый, а по третьей фразе Дима второй, и Саше осталось только четвёртое место.
Следовательно, Дима выступил лучше Саши.

В вазочку положили несколько конфет. Трое мальчиков их сосчитали и
по очереди сказали: <<Тут больше девяти конфет>>, <<Конфет больше
пятнадцати>>, <<Конфет в вазочке меньше двенадцати>>. При этом ровно один
из них ошибся. Какое наименьшее количество конфет могло лежать в вазочке?

Высказывания <<Конфет больше пятнадцати>> и <<Конфет в вазочке меньше
двенадцати>> противоречат друг другу, следовательно, хотя бы одно из них неверное. Из трёх высказываний неверно лишь одно, значит, оставшееся высказывание <<Тут больше девяти конфет>> верно. Поэтому конфет не менее
десяти; причём десять конфет удовлетворяют условию.

Другое решение состоит в разборе трёх случаев --- когда один из мальчиков
ошибся, а два других мальчика сказали правду.

Перед началом урока учитель написал на доске какое-то целое число от 1 до 10. После этого дети по очереди сказали следующее:

 Первый: <<Это число больше 1.>>
 
Второй: <<Это число больше 2.>>

\ldots

Девятый: <<Это число больше 9.>>

Десятый: <<Это число больше 10.>>

Одиннадцатый: <<Это число меньше 10.>>

\ldots

Двадцатый: <<Это число меньше 1.>>

Сколько раз ребята сказали правду?

Рассадим детей за парты --- рядом посадим первого и двадцатого, второго и девятнадцатого и т.д. Теперь пронумеруем эти парты числами от 1 до 10. Заметим, что теперь в случае, когда записанное число совпадает с номером парты оба ученика, сидящих за ней, говорят неправду. Если же записанное число не равно номеру парты (а такое происходит в девяти случаях), один из учащихся говорит правду, а другой лжет. Таким образом, всего девять ребят сказали правду.

Трое детей решили две задачи, после чего каждый из них сделал два заявления об ответах, которые у них получились в этих задачах:

Первый: <<В первой задаче ответ больше 18. Во второй --- не  больше 14.>>

Второй: <<В первой получается меньше 20, а во второй --- 14.>>

Третий: <<В первой ответ --- 15, а во второй ответ больше 14.>>

Известно, что один из них оба раза ошибся, а два других оба раза были правы. Какие ответы в этих задачах, если известно, что это --- целые числа?

Попробуем определить ответ во второй задаче.  Если ответ больше 14, то соврали первый и второй мальчики, а это противоречит условию. Аналогично не может быть ответ меньше 14. Единственно возможный вариант --- 14. Тогда третий мальчик ошибается, а первые два правы. Тогда ответ в первой задаче --- 19.

Четверо друзей измеряли длину удава в попугаях. Получилось, что в удаве помещается целое число попугаев. Через неделю они стали вспоминать, какое же это число. Удав сказал: <<Меньше 50>>. Слоненок сказал: <<Меньше 45>>. Мартышка сказала: <<Меньше 44>>. А попугай сказал: <<Меньше 43>>. Известно, что ровно двое из них ошиблись. Какова длина удава?

Так как 50>45>44>43, то если Попугай сказал правду, то правду сказали и все остальные. Если Мартышка сказала правду, то Слоненок и Удав сказали правду. Следовательно, Попугай и Мартышка соврали, а Слоненок и Удав сказали правду. Таким образом, длина удава меньше 45, но не меньше 44, а такое число одно --- 44.

На контрольной три школьника решали три задачи. Позже выяснилось, что каждый из них либо все три задачи решил верно, либо во всех трех ошибся. После урока дети обсудили, какие у них получились ответы.

Первый сказал: <<В первой задаче ответ больше 18. Во второй --- меньше 10. В третьей задаче ответ --- 20.>>

Второй сказал: <<В первой получается меньше 18, а во второй --- 10. В третьей получается больше 20.>>

Третий сказал: <<В первой ответ --- 18, а во второй ответ больше 10. В третьей ответ меньше 20.>>

Сколько из них решили все задачи верно?

Заметим, что ответы учеников в каждой задаче взаимоисключающие, а значит, двое или трое не могли решить все задачи правильно. А кто-то один обязательно решил правильно, так как приведены все возможные варианты ответов в одной из задач (например, в первой).

Встретились четыре артиста А, Б, В и Г. Каждый из них через раз говорит правду, а через раз --- ложь. Между ними произошёл следующий разговор:

А: Б --- клоун.

Б: В --- клоун.

В: А --- клоун.

В: Б --- клоун.

Б: Г --- клоун.

А: Я сам клоун.

Сколько из этих артистов являются клоунами?

Двое из этих артистов являются клоунами. Два последовательных высказывания В гласили: <<А --- клоун>> и <<Б --- клоун>>. Из них одно верно, а другое ложно, следовательно один из А и Б клоун, другой --- не клоун. Аналогично два последовательных высказывания Б гласили: <<В --— клоун>> и <<Г --- клоун>>, следовательно один из В и Г клоун, другой --- не клоун. Нетрудно проверить, что любой вариант, когда ровно один из А и Б --- клоун, и ровно один из В и Г --- клоун, подходит.

Жители города Правдин всегда говорят правду, а жители города Лгунов всегда лгут. В одном из городов состоялся футбольный матч между командами этих городов. После матча около стадиона на остановке автобуса, идущего в другой город, произошел следующий диалог:

    А: Я не был на матче. Скажите, кто выиграл?
 
    Б: Г сказал мне, что их команда проиграла.
 
    В: Наша команда выиграла.
 
    Г (садясь в автобус): Поедем вместе, А, ведь мы из одного города.
 
    А: Вы ошибаетесь Г, Я живу здесь. Это В из Вашего города.
 
    Определите, кто из какого города, и где происходил футбольный матч.
А из города __, Б из города __, В из города __, Г из города __, матч был в городе __.

Предположим, что А говорит неправду, тогда он не живет в этом городе, а значит живет в одном городе с Г (так как Г уезжает). Поэтому Г сказал правду, А --- врет, и они живут в одном городе. Это противоречит условию задачи. Следовательно, А говорит правду. Тогда Г --- лгун и В --- лгун, следовательно, команда лгунов проиграла. Г --- лгун, значит он не мог сказать, что их команда проиграла, то есть Б также лгун. Матч проходил в родном городе А --- Правдине. Этот вариант подходит.

Три мальчика разговаривают после урока:

Антон:    Я получил за контрольную 5!

Борис:    Я написал работу не хуже, чем Вадим.

Вадим:    Антон написал контрольную на 4.

Антон:    Кстати, Борис написал её на 4.

Борис:    Вадим получил 4.

Вадим:    Я получил 5.

Известно, что один мальчик оба раза солгал, а остальные сказали  правду. Определите, кто из них написал контрольную работу на 4.

Вторые фразы Бориса и Вадима противоречат друг другу, поэтому лгал один из
них, а Антон говорил только правду. Следовательно, Антон получил 5,
а Борис написал контрольную на 4. Поэтому Вадим солгал в своей первой фразе,
значит, Борис говорил оба раза правду, и Вадим получил 4.

В семейном ансамбле <<Ласковый лай>> участвуют Тит Фомич, Фома Титович, Фома Фролович, Фрол Фомич и Фрол Фролович Собакины. Один из них поет, его отец играет на шарманке, брат держит микрофон, а дети бьют в барабан. Назовите имя и отчество певца.

Отчество Титович не может принадлежать артисту, имеющему брата --- они оба назывались бы Титовичами, а Титович только один. Следовательно, Фома Титович играет на шарманке. Его сын Тит Фомич держит микрофон, так как судя по отчествам остальных артистов, у него в ансамбле детей нет. Значит, его брат Фрол Фомич и есть певец.

Четверо друзей --- Коля, Саша, Олег и Антон --- соревновались в поедании конфет. После окончания соревнований каждого из них спросили, какое он место занял. Ребята дали следующие ответы:

Коля: <<Я не был ни первым, ни последним.>>

Саша: <<Я не был первым.>>

Олег: <<Я был первым.>>

Антон: <<Я был последним.>>

Оказалось, что трое мальчиков сказали правду, а один соврал. Выясните, кто победил в этом соревновании.

Если Олег сказал неправду, то никто из мальчиков не был первым, что невозможно --- должен же кто‑то быть первым. Следовательно, Олег сказал правду --- он и был победителем.

Известно, что разведчик, перевербованный контрразведкой, всегда лжет. Нормальный же разведчик всегда говорит чистую правду. На конспиративной квартире встретились два разведчика. Между ними произошел следующий разговор:

А: Мы с Вами встречались в Берне.

В: Я никогда там не был !!?

А: Разберемся позже. Вот дипломат с бомбой.

Посмотрев в дипломат, В сказал:

В: Да, это действительно бомба.

После этого они разошлись. А что говорит каждый из них --- правду или ложь?

А говорит __, В говорит __.

Так как в первых двух фразах разведчики противоречат друг другу, не могло случиться так, что они оба говорят правду, значит, кто-то из них (неважно, кто) перевербован контрразведкой и лжет. Когда этот разведчик‑лжец говорит о наличии бомбы, он опять лжет. Значит, бомбы в дипломате нет, а тогда и второй разведчик тоже лжёт.