Заполните пропуски в решении задачи "Сколькими способами можно переставить буквы в сочетании АА...ААББ...Б (*m* букв "А" и *n* букв "Б")."

Если бы все буквы были различными, то всего было бы __ способов переставить буквы.

Но *m* букв А одинаковые, и тем самым мы сосчитали каждый вариант столько раз, сколькими способами можно переставить буквы А, т.е. __ раз.

Аналогично, считая теперь *n* букв Б одинаковыми, мы сосчитали каждый из способов __ раз. Получаем ответ:

(m+n)! / ( m! \cdot n!).

Есть семь разноцветных бусинок. Сколькими способами из них можно собрать ожерелье? Ожерелье можно поворачивать и переворачивать.

Пусть ожерелье можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Такое ожерелье можно составить 720 способами (7!=5040 способов расставить бусинки в ряд, а каждое ожерелье можно разрезать семью способами в ряд из бусинок). Но ожерелье можно ещё и переворачивать, так что каждый способ мы сосчитали дважды (на обычном ожерелье и на перевёрнутом). Итого ответ: 720:2=360.

Есть семь разноцветных бусинок. Сколькими способами из них можно собрать ожерелье? Ожерелье можно поворачивать, но нельзя переворачивать.

Если мы хотим поставить семь бусинок в ряд, то у нас будет 7!=5040 способов это сделать.

Из любого ожерелья есть ровно семь способов сделать ряд бусинок (для этого нужно разомкнуть ожерелье в любом месте). Следовательно, вариантов сделать оерелье в семь раз меньше, чем вариантов поставить бусинки в ряд. Итого ответ: 7!:7=720 способов.

Сколькими способами можно разбить шестерых человек на три пары?

Решение 1.

Пусть три пары - это пары дежурных в кабинетах №1, №2 и №3 из предыдущей задачи. Выбрать пару дежурных в кабинет №1 всего 15 способов (первого дежурного выбираем любого из шестерых, второго - любого из пятерых, и делим на 2, так как неважно, какой дежурный первый, а какой второй). Аналогично выбрать дежурных в кабинет №2 всего $4\cdot 3 / 2=6$ способов. В третий кабинет выбираются остальные дежурные (способ единственный).

Задача разбиения шести людей на три пары аналогична задаче выбора дежурных, только "кабинеты" здесь одинаковые. А значит, каждый вариант из задачи выбора дежурных сосчитан столько раз, сколькими способами можно поменять местами номера кабинетов (включая исходный), т.е. 3!=6 раз. Итого ответ: $15\cdot 6 / 6=15$ способов.

Решение 2.

Рассмотрим шесть позиций: "Первый человек в первой паре", "второй человек во второй паре", ..., "второй человек в третьей паре". Всего есть 6!=720 способов расставить шестерых людей на эти позиции (на первую позицию можно выбрать любого из шестерых, на вторую - любого из пятерых оставшихся, и т.д.)

Теперь перестанем различать первого и второго человека в первой паре (в паре оба равноправны). Теперь количество вариантов нужно разделить пополам (потому что каждый вариант сосчитан дважды). Аналогично нужно ещё два раза разделить на 2 (у нас есть ещё вторая и третья пары людей).

Наконец, перестанем различать номера пар. Теперь каждый вариант сосчитан 3!=6 раз.

Итоговый ответ: $6! / (2\cdot 2\cdot 2\cdot 6) = 15$.

Имеется шесть дежурных и три кабинета - №1, №2 и №3. Необходимо в каждый кабинет посадить по двое дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Заполним сперва кабинет №1. Первого дежурного в этот кабинет можно выбрать шестью способами, второго - пятью способами. итого упорядоченную пару дежурных мы можем выбрать $6\cdot 5=30$ способами. Но нам не важно, который из двух дежурных выбран первым, а какой вторым, поэтому каждый з исходно сосчитанных 30 способов мы сосчитали дважды, а значит, способов 15.

Теперь осталось четверо дежурных. Аналогично предыдущему рассуждению, дежурных в кабинет №2 можно выбрать $4\cdot 3 / 2=6$ способами. Оставшихся дежурных направляем в кабинет №3. Это делается однозначно.

Так как на каждый из 15 вариантов выбрать дежурных для первого кабинета есть по шесть способов выбрать дежурных для второго кабинета, то ответ к задаче: $15\cdot 6=90$.

Деление вариантов на каждом шаге, а не в конце решения.

Важно обратить внимание на то, что после первых двух кабинетов пара в третий кабинет определяется однозначно.

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске два одноцветных ферзя так, чтобы ни один из ферзей не бил другого?

Вспомним задачу "Сумма и произведение - 12". В той задаче нужно было найти количество способов расставить двух ферзей - белого и чёрного - так, чтобы они не били друг друга. Ответ получался $28\cdot 42+20\cdot 40+12\cdot 38+4\cdot 36=2576$ способов.

Но у нас ферзи одинаковые (пусть оба чёрные), а не разноцветные, а значит, каждый вариант мы сосчитали дважды (любого из двух ферзей мы можем покрвсить в белый цвет). А значит, всего способов 2576:2=1288.

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске три одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?

Представим, что все ладьи различные (например, наклеим на каждую номер). Первую ладью можно поставить 64 способами. Так как ладья полностью выбивает свою горизонталь и вертикаль, то вторую ладью можно поставить 49 способами (остаётся по семь горизонталей и вертикалей). Аналогично третью ладью можно поставить 36 способами. Итого $64\cdot 49\cdot 36$ способов.

Теперь вспомним, что все ладьи одинаковые. Каждый из способов мы сосчитали столько раз, сколькими способами мы можем наклеить номера на трёх ладей, т.е. 3!=6 раз.

Итого ответ: $64\cdot 49\cdot 36 / 6=18816$ способов.

Сколькими способами можно разместить на шахматной доске две одноцветных ладьи так, чтобы ни одна из ладей не била другую?

Представим, что все ладьи различные (например, наклеим на каждую номер). Первую ладью можно поставить 64 способами. Так как ладья полностью выбивает свою горизонталь и вертикаль, то вторую ладью можно поставить 49 способами (остаётся по семь горизонталей и вертикалей). Итого $64\cdot 49$ способов.

Теперь вспомним, что ладьи одинаковые. Каждый из способов мы сосчитали дважды (мы могли любую из двух ладей назвать первой, а оставшуюся второй).

Итого ответ: $64\cdot 49 / 2 = 1568$ вариантов.

Вставьте пропуски в решении задачи *Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?*.
Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд. Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз, а значит, общее количество вариантов нужно __ на это число. Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз; так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ количество раз. Итого ответ: __ способов.

Вставьте пропуски в решении задачи *"Сколькими способами можно поставить в ряд 3 белых, 3 чёрных и 4 красных кубиков?"*.
– Допустим, что все кубики разные. Тогда всего есть __ вариантов поставить кубики в ряд.

– Так как белые кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ __ раз.

– А значит, общее количество вариантов нужно __ на это число.

– Аналогично, так как чёрные кубики одинаковы, то каждый способ мы сосчитали __ раз. 

– Так как красные кубики одинаковы, то мы сосчитали каждый способ несколько раз, а именно: __.

Итого ответ: __ способов.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<МАТЕМАТИКА>>?

Вариант поставить буквы в исходном порядке также считается перестановкой.

Представим, что все буквы разные. Тогда будет 10! перестановок букв (на первом месте можно поставить любую из 10 букв, на второе - любую из 9 оставшихся, и т.д.)

Но у нас три буквы А, две буквы М и две буквы Т. Если мы теперь будем считать три А одинаковыми (а две М и две Т разными), то выясним, что каждый способ мы сосчитали 3!=6 раз - столькими способами можно поменять местами три буквы А.

Аналогично нужно разделить на 2, когда мы считаем М одинаковыми, и ещё на 2 - когда считаем одинаковыми Т. Итого ответ $10!:(3!\cdot 2!\cdot 2!)=151200$.

Это классическая задача на проверку и закрепление техники 

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<БАРАБАН>>?

(Способ поставить буквы в том же порядке также считается перестановкой.)

Представим, что все буквы разные. Тогда всего есть 7!=5040 способов переставить буквы (на первое место можно поставить любую из семи букв, на второе - любую из шести оставшихся, и т.д.)

Теперь будем считать одинаковыми три буквы А (а две буквы Б пока разными). Каждый способ мы теперь сосчитали 3!=6 раз - столько, сколько способов переставить три буква А (потому что каждая перестановка букв А не меняет прочтение слова). Т.е. количество способов нужно разделить на 6.

А теперь сделаем одинаковыми и две буквы Б. Тогда каждый способ мы сосчитали дважды, т.е. количество способов нужно ещё разделить на 2.

Итоговый ответ: $7!:(3!\cdot 2!)=420$.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5? В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Представим, что все числа различны. Тогда всего есть 7!=5020 способов расставить цифры (на первое место можем поставить любую из семи цифр, на второе - любую из шести оставшихся, и т.д.)

Теперь уберём разницу между двумя единицами (а двойки всё ещё будут различными). Каждый вариант мы сосчитали столько раз, сколькими способами можно переставить эти две единицы, т.е. два раза. Аналогично, убирая разницу между двойками, мы замечаем, что каждый вариант снова сосчитан два раза. А значит, верный ответ в задаче - $7!:(2!\cdot 2!)=1260$.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 1, 1, 2, 3, 4?

В числе должны быть использованы все имеющиеся цифры.

Будем считать, что три единицы различны. Тогда вариантов составить число из имеющихся цифр всего $6!=720$. В самом деле, на первое место можно поставить любую из шести имеющихся цифр, на второе - любую из пяти оставшихся цифр, и т.д. Полученные варианты нужно перемножить.

Теперь будем считать единицы неразличимыми. Каждый способ мы сосчитали столько раз, сколькими способами можно переставить единицы, т.е. 3!=6. Значит, ответ к задаче - 6!:3!=120.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ОЛОВО>>? (Как и в прежних задачах, оставить буквы в исходном порядке тоже считается перестановкой.)

Предположим сначала, что в слове <<ОЛОВО>> пять различных букв (пусть буквы О чем-нибудь различаются). На первое место можно поставить любую из пяти имеющихся букв, на второе - любую из четырёх оставшихся, и т.д. Эти варианты необходимо перемножить (потому что на каждый способ поставить букву на первое место найдётся четыре способа поставить букву на второе место, и т.д.) Получится 5!=120 способов.

Теперь уберём разницу между тремя буквами О. Сколько раз мы сосчитали каждый способ? Столько раз, сколькими способами мы могли переставить три буквы О, т.е 3!=6 способами. Значит, количество перестановок букв в слове <<ОЛОВО>> равно 120:6=20.

Тут возникает  новая ситуация -- три одинаковые буквы, что уменьшает количество различных вариантов не в 2 раза, и даже не в 3 раза.  А перестановок из трех букв 

 3!=6. Отсюда ответ 5!/3! = 20

Обратить внимание на серию ФАКТОРИАЛ

Сколькими способами можно поставить две неразличимые белые фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?

Представим для начала, что фишки разные (например, белая и чёрная).

Поставим сперва на доску белую фишку. Это можно сделать 64 способами. На каждый из этих способов есть 63 способа поставить на доску чёрную фишку (её нельзя ставить в клетку, где уже стоит белая фишка). Итого $64\cdot 63=4032$ способа.

Теперь перестанем различать цвета фишек. Каждый из вариантов расстановки фишек мы сосчитали два раза (можно было любую из двух фишек покрасить в чёрный цвет). Следовательно, ответ в задаче: 4032:2=2016 способов.

Сколькими способами можно поставить одну чёрную и одну белую фишки на шахматную доску (в одной клетке не может стоять более одной фишки)?

Поставим сперва на доску белую фишку. Это можно сделать 64 способами. На каждый из этих способов есть 63 способа поставить на доску чёрную фишку (её нельзя ставить в клетку, где уже стоит белая фишка). Итого $64\cdot 63=4032$ способа.

Просто задача на повторение правила произведения, что нужно для след. задачи

Вставьте пропуски в решении задачи

<<Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО>>.

Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.

Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).

Следовательно, ответ: __ способов.

Вставьте пропуски в решении задачи

*"Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОЛЕСО"*.

– Пусть все буквы будут разные. Тогда существует __ перестановок букв.

– Но две буквы О одинаковые, поэтому каждый вариант мы сосчитали __ раз(а).

– Следовательно, ответ: __ способов.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ЛИНИЯ>>? (Оставить буквы в том же порядке также считается перестановкой, но две буквы И неразличимы.)

Предположим сначала, что в слове <<ЛИНИЯ>> пять различных букв (пусть первая и вторая буквы И чем-нибудь различаются - например, по-разному написаны). На первое место можно поставить любую из пяти имеющихся букв, на второе - любую из четырёх оставшихся, и т.д. Эти варианты необходимо перемножить (потому что на каждый способ поставить букву на первое место найдётся четыре способа поставить букву на второе место, и т.д.) Получится 120 способов.

Теперь вспомним, что две буквы И у нас одинаковые. Это значит, что каждый способ мы сосчитали дважды (две буквы И можно поменять местами, а можно оставить как были). Это значит, что ответ в задаче в два раза меньше только что сосчитанного, т.е. 60.

Тут как раз появляется понимание  

Если бы слово было такое -- ЛИНиЯ, то буквы все различны, и вариантов перестановок 5!. НО, т.к. буквы И / и по сути неразличимы, то будут повторяющиеся перестановки.

А как избавиться от повторов? Две одинаковые буквы  можно преставить 2! способами,

ЛИНиЯ = ЛиНИЯ, следовательно всего различных вариантов будет 5! / 2! = 120 / 2 = 60.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове <<ПАРУС>>? (Исходный вариант расстановки букв также считается перестановкой.)

В слове <<Парус>> всего пять букв. На первое место можно поставить любую из пяти букв. На второе место можно поставить любую из оставшихся четырёх букв. Так как на каждый из пяти вариантов поставить букву на первое место есть четыре варианта поставить какую-то букву на второе место, то эти числа нужно перемножить. Аналогично на третье место можно поставить любую из трёх оставшихся букв, на четвёртое - любую из двух оставшихся, и наконец, на пятое место ставится неиспользованная буква. Итого $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ способов.

Несмотря на то, что пока в решении отсутствует слово "РАЗЛИЧНЫЕ" ( буквы в слове парус), -- важно обратить внимание на это.И

Имеет смысл начать с еще более коротких слов. 

Обратить внимание на то, что формулировка такой заждачи может быть видоизменена (сколько слов длины исходного слова можно составить...), а в текущем виде со словом "перестановка" -- по сути,  подсказка.