У Пети и Васи есть доска $10\times 15$ клеток. Они ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно вычеркнуть ряд (строку или столбец), в котором есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра, если игроки не будут делать ошибок (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Это задача - не совсем игра-шутка. Вася может проиграть, если он сделает одну глупость, которую опишем чуть позже.

Пусть у игроков есть прямоугольник $k\times n$, и один из игроков вычёркивает строку или столбец. Уберём совсем клетки из этой строки (или столбца) и получим прямоугольник $(k-1)\times n$ или $k\times (n-1)$. Таким образом, мы можем считать, что с каждым ходом уменьшается на 1 одна из сторон прямоугольника.

Если один из игроков получит прямоугольник со стороной 1, он выиграет, вычеркнув этот (единственный) ряд. Соответственно, игроку нельзя вычёркивать ряд, если после этого остаётся прямоугольник $1\times k$ (или симметричный). То есть, если игрок получает прямоугольник с двумя строками, то ему нельзя вычёркивать одну из этих строк.

В остальном от стратегии игроков ничего не зависит. За 8 ходов одна сторона уменьшится с 10 до 2, и за 13 ходов вторая сторона уменьшится с 15 до 2. После 21 хода у Васи останется квадрат $2\times 2$, Вася зачеркнёт один ряд, после чего Петя зачеркнёт оставшийся параллельный ряд и выиграет.

На доске нарисован выпуклый 1000-угольник. Петя и Вася по очереди проводят в нём диагонали, начинает Петя. Нельзя проводить диагональ, пересекающую во внутренней точке уже проведённую диагональ. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Докажем по индукции, что в $n$-угольнике можно провести ровно $n-3$ диагонали, не пересекающие друг друга во внутренних точках. Из этого будет следовать, что для 1000-угольника количество ходов будет 997, и от стратегии игроков ничего не зависит. Для $n=3$ или $n=4$ задача очевидна.

Пусть для всех $k<n$ утверждение про количество диагоналей уже доказано. Проведём какую-то диагональ в $n$-угольнике, разделяющую его на $k$-угольник и $n-k+2$-угольник (концы диагонали окажутся в обоих многоугольниках, а каждая из остальных 998 вершин - ровно в одном). По предположению, в $k$-угольнике можно провести ещё $k-3$ диагонали, а в $n-k+2$-угольнике - ещё $n-k-1$ диагональ. Общее количество диагоналей будет равно $1+k-3+n-k-1=n-3$, что и требовалось.

На доске написаны числа 96 и 44. Петя и Вася делают ходы по очереди, начинает Петя. За ход можно дописать на доску разность любых двух имеющихся на доске чисел. Запрещается писать число, если равное ему уже встретилось на доске. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Очевидно, все написанные числа будут делиться на 4 и не будут превосходить 96, поэтому будет написано не более 24 чисел. Два из них написаны изначально, поэтому игра не сможет продолжаться больше, чем 22 хода.

Докажем, чтовсе числа, кратные 4 и не превосходящие 96, рано или поздно окажутся написанными. Пусть число 4 ещё не написано, и пусть наименьшее написанное число - $a$. Найдём тогда наименьшее число, не кратное $a$ (такое найдётся, потому что НОД всех написанных чисел равен 4), и вычтем из него $a$. Получится число, ещё не написанное на доске.

Пусть тперь число 4 выписано, но выписаны не все числа, кратные 4 и не превосходящие 96.  Рассмотрим максимальное из них (пусть будет $b$). Тогда выписаны 4 и $b+4$, но не выписано $b$ - его и можно написать очередным ходом.

Петя и Вася по очереди ставят на шахматную доску ладей. Начинает Петя. Нельзя ставить ладью в клетку, которую бьёт уже поставленная ладья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Каждая поставленная ладья "выбивает" одну горизонталь и одну вертикаль. На любую "невыбитую" клетку можно поставить ладью. Следоательно, всего будет сделано 8 ходов, и это не зависит от стратегии игроков.

Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Петя и Вася по очереди расставляют между ними плюсы и минусы, начинает Петя. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает Вася, если нечётен, то Петя. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Какое число окажется на доске (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Чётность результата не зависит от расстановки плюсов и минусов, а зависит только от количества нечётных чисел в первоначальном наборе. Так как в данном случае их 10 (то есть чётное число), то выигрывает Вася.

Результат на доске, очевидно, нельзя предсказать заранее. Игроки могут расставить все плюсы, и результат будет равен 190. Но если окажется хотя бы один минус, то результат будет меньше.

Числа от 1 до 20 записаны в строчку. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно стереть два числа на доске и написать их неотрицательную разность. Игра закончится, когда на доске написано одно число. Если оно чётное, топобедит Петя, а если нечётное, то Вася. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Какое число окажется на доске (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Разность двух чисел имеет такую же чётность, как и их сумма. Поэтому чётность суммы всех написанных на доске чисел не меняется. Сумма всех изначальных чисел равна 190, поэтому получившееся в результате число также будет чётным. Следовательно, выиграет Петя, и это не зависит от стратегии игроков.
Каким именно окажется результат на доске, сказать невозможно. В самом деле, игроки могут разделить числа на пары (1 и 2, 3 и 4 и т.д.) и сделать ходы в этих парах, после чего на доске окажется 10 единиц. Далее они могут могут поделить эти единицы на пары и получить пять нулей, после чего последнее число на доске обязательно будет нулём. Но игроки могут поступить иначе - до последнего хода не трогать число 20, а потом из 20 вычесть оставшийся результат (он, очевидно, окажется меньше 20), и число на доске будет положительным.

Числа от 1 до 20 записаны в строчку. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно стереть два числа на доске и написать их сумму. Игра закончится, когда на доске написано одно число. Если оно чётное, топобедит Петя, а если нечётное, то Вася. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Какое число окажется на доске (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Сумма всех чисел на доске при таких операциях не меняется. Следовательно, она будет равна 190 (сумма от 1 до 20), и это не зависит от стратегии.

Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце – 45. Таким образом, всего будет сделано 42 хода. Последний выигрывающий 42-й ход сделает Вася, и это не зависит от стратегии игроков.

Есть шоколадка $6\times 10$ долек. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок может взять кусок и разломать его на два по границам клеток. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

С каждым ходом количество кусков шоколадки увеличивается на 1. Сперва был один кусок, в конце игры их будет 60. Следовательно, всего в игре будет сделано 59 ходов (это не зависит от стратегии игроков), и проиграет Вася, не сумев сделать 60-й ход.

Перед Петей и Васей есть три кучи, по 101 конфете в каждой. Они ходят по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять две конфеты из любой кучи (обе конфеты - из одной и той же). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? __ Зависит ли ответ от стратегии? __ Сколько ходов продлится игра (если на этот вопрос ответить невозможно, то напишите "нет")? __

Всего есть по 50 ходов в каждую из трёх куч - итого 150 ходов. После этого Петя не сможет походить, и Вася выиграет. От стратегии игроков ничего не зависит.