Из доски 8х8 вырезали одну клетку и остаток удалось разрезать на полоски 1х3. Какая клетка могла быть вырезана?

В ответ укажите клетку доски в формате е2, где е – обозначение вертикали, а 2 – номер горизонтали. Например, одна из угловых клеткок – это a1, противоположная ей h8, две другие угловые это a8 и h1.

Рассмотрим 2 диагональные раскраски в три цвета. Каждая полоска 1х3 для таких раскрасок занимает по одной клетке белого, синего и красного цвета. 

При каждой из раскрасок на доске белых клеток 21, красных тоже 21, а синих 22.

Значит, вырезанная клетка должна быть синей на каждой из раскрасок. Получаем 4 клетки, которые под подозрением: c3, f3, c6, f6. Осталось убедиться, что для каждой из них есть способ разбиения оставшейся части доски на полоски 1х3. Но такой способ уже был в решении предыдущей задачи.

ПРи решении этой задачи полезно использовать идею диагональной раскраски в 3 цвета. Далее посчитайте, сколько клеток каждого цвета получилось, как могут располагаться полоски 1х3 (каждая полоска содержит клетки трех разных цветов)

Разрежьте доску 8х8 без указанной клетки на прямоугольники 1х3. Как объяснить, что необходимо сделать не менее 21 выстрела по доске 8х8, чтобы попасть в корабль 1х3?

Выберите верный вариант ответа:

а) каждый из 21 прямоугольников нужно проверить;

б) в каждый из 21 кораблей нужно сделать выстрел;

в) $63=21\cdot 3$, значит нужно сделать 21 выстрел.

Вот один из способов, как оставшуюся часть доски можно разбить на прямоугольники 1x3.

При этом в каждом таком прямоугольнике нужно проверить хотя бы одну клетку, иначе в этом прямоугольнике может оказаться корабль 1х3.

Какое наименьшее число выстрелов надо сделать по доске 8х8 чтобы гарантированно попасть в корабль 1х4?

Рассмотрим диагональную раскраску в 4 цвета.

Каждый корабль 1х4 занимает по одной клетке белого, красного, зелёного и синего цветов. Значит, к примеру, достаточно проверить все синие клетки. Их 16. 

Осталось доказать, что меньше, чем за 16 выстрелов, гарантированно попасть в корабль 1х4 нельзя. Разрежем доску на 16 прямоугольников, по 2 в каждой строке. Если не проверить хотя бы один из них, то в нём может оказаться корабль 1х4. Значит, нужно не менее 16 выстрелов.

Полезно:

1) Использовать идею диагональной раскраски.

2) Определить возможные позиции для корабля 1×4 и как они могут располагаться на доске. Как он раскрашен? В клетки какого цвета достаточно попасть, чтобы попасть в корабль? Сколько таких клеток?

На доске 5х5 расположен трёхпалубный корабль 1х3. Вася сделал 5 выстрелов по диагонали в клетки x. Какие 4 выстрела надо сделать, чтобы быть уверенным, что попал в корабль хоть раз? Результат попадания виден со спутника только после всех выстрелов.

Применим диагональную раскраску в 3 цвета.

Каждый трёхпалубный корабль при такой раскраске занимает по одной клетке каждого цвета. Вася проверил 5 синих клеток главной диагонали. Значит, он может проверить ещё 4 синие клетки.

Докажем, что если хотя бы одна из указанных синих клеток b, e, h или k не проверена, то найдётся место для трёхпалубного корабля. Например, если Вася не проверил клетку b.

Все непроверенные клетки разбиваются на 2 части – одна над главной диагональю, а вторая – под ней. *Среди клеток под диагональю* нужно проверить хотя бы 2 клетки – по одной в каждом из двух отмеченных жёлтых прямоугольников 1x3. Иначе найдётся трёхпалубный корабль, который Вася не подбил.

*Для клеток над диагональю* рассуждения иные. Рассмотрим верхнюю строку. Кроме одной отмеченной клетки Васе нужно проверить ещё хотя бы одну клетку в этой строке. Если это не клетка b, то возможны три случая. В каждом из них найдётся по два оранжевых прямоугольника 1x3, в которых могут быть трёхпалубные корабли. Васе потребуется отметить не менее 3 клеток над диагональю.

Таким образом, если Вася не проверил клетку b, то ему нужно проверить не менее 5 клеток.

Значит, ровно 4 клетки Вася может проверить только одним способом. 

Из доски 5х5 вырезали одну клетку и остаток удалось разрезать на полоски 1х3. Какая клетка могла быть вырезана?

Рассмотрим диагональную раскраску в три цвета. 

Каждый прямоугольник 1x3 при такой раскраске занимает по одной клетке каждого цвета. Но на доске синих клеток на красных и белых клеток по 8, а синих – 9. Значит, вырезали синюю клетку. 

Повернём раскраску на 90 градусов. Получим ещё одну диагональную раскраску в три цвета. На этот раз *все синие клетки, кроме одной,* окажутся в новых местах.

Значит, вырезать могли только ту клетку, которая оказалась синей оба раза. Это центральная клетка *c3*.

С помощью раскраски покажите, что если вырезать клетку B или C, то остаток не получится разрезать на полоски 1х3.

Выберите раскраски, которые могут помочь в этом.

Занумеруем рисунки с раскрасками слева направо числами от 1 до 4. Раскрасим доску в три цвета диагональной раскраской двумя способами, как указано на рисунках №2 и №4.

Каждый прямоугольник 1x3 занимает по одной клетке каждого цвета. Значит, в разбиении из 24-х клеток, оставшихся после удаления одной из двух клеток B или С на доске остаётся должно быть по 8 клеток каждого цвета. Для второй раскраски это условие выполняется. А для четвёртой – нет. В ней синих клеток 9.

Осталось заметить, что раскраски №1 и №3 не имеют закономерностей, характерных для прямоугольников 1x3.

При решении этой задачи полезно:
1) Обратить внимание на то, как вырезание клеток B или C влияет на возможность разрезания оставшихся клеток на полоски 1×3.

2) Использовать идею диагональной раскраски.

С помощью раскраски покажите, что если вырезать из доски 5 на 5 клетку A, как это указано на рисунке слева, то остаток не получится разрезать на полоски 1х3.

Выберите подходящую раскраску из перечисленных.

Для первых трёх ракрасок нет закономерностей на полосках 1х3.

1) В шахматной раскраске такая полоска может занимать как 1 белую клетки, так и 2.

2) В раскраске матрас полоска 1х3 может занимать как 3 белые клетки, так и ни одной.

3) В четырёхцветной раскраске полоска может занимать как 2 клетки одного цвета и 1 другого.

4) А в трёхцветной диагональной раскраске полоска 1х3 *всегда* занимает три клетки разных цветов. Если бы после удаления одной клетки доску 5х5 *можно было бы* разрезать на полоски из трёх клеток, то клеток каждого цвета было бы по (25-1):3=8.

Всего на доске при этом 9 синих, по 8 белых и красных клеток. Если удалить белую клетку A, то синих клеток будет всё ещё 9. То есть клеток разных цветов не поровну. Значит, разрезать оставшиеся 24 клетки на полоски из трёх клеток нельзя.

Из доски 5х5 вырезали центральную клетку и начали разрезать на полоски 1х3. Закончите разрезание. Вместе с каким клетками в одной полоске окажется клетка с?

Рассмотрим клетки 1 и 2. Они должны быть в вертикальных прямоугольниках $1\times 3$. Значит, клетка 3 в горизонтальном. Клетки e и 4 – тоже в горизонтальных прямоугольниках. Осталось завершить разрезание двумя вертикальным прямоугольниками, содержащими клетки a и b.

А можно ли отметить 10 клеток доски 5х5 так, чтобы в каждой полоске 1х3 содержалось не более одной отмеченной клетки?

На доске 5х5 можно выделить 9 областей, в каждой из которых не более одной отмеченной клетки. Значит, всего таких клеток не более 9.

Можно ли отметить 8 клеток доски 5х5 так, чтобы в каждой полоске 1х3 содержалось не менее одной отмеченной клетки?

Для решение этой задачи достаточно показать хотя бы один пример и проверить, что он подходит. Но как придумать такой пример?

Логично предположить, что в каждом прямоугольнике 1х3 ровно по одной отмеченной клетке. Тогда возникает диагональная раскраска в три цвета.

В такой раскраске синих клеток 9, а белых и красных – по 8. Значит, можно отметить, например, 8 красных клеток.

Плезно:

Определить, сколько полосок 1×3 можно провести по горизонтали и вертикали на доске 5×5.

Попробовать различные комбинации отмеченных клеток и проверьте, как они покрывают все полоски.

Можно использовать графический метод для визуализации – идея раскрасить доску в три цвета.

Идея диагонального смещения вертикальной полоски 1×3.

Проверить решение: убедиться, что в каждой полоске 1×3 есть хотя бы одна отмеченная клетка.

На доске $4\times4$ отмечены 4 клетки $х$.

Какие две из клеток $a, b, c, d, e, f$ необходимо отметить, чтобы каждая полоска $1х3$, как вертикальная, так и горизонтальная содержала хоть одну отмеченную клетку?

В каждой горизонтали можно выделить по 2 прямогольника $1х3$.

В верхней горизонтали – это тот прямогольник, который содержит клетку $x$ и тот прямогольник, который содержит клетку $b$. Эти прямоугольники имеют две общие клетки, среди которых отмеченных нет, так клетка $x$ является отмеченной. Значит, клетка $b$ тоже должна быть отмечена.

Во второй сверху горизонтали первый прямоугольник не содержит клетку $c$, в отличие от второго. Каждый из этих двух прямоугольников содержит отмеченную клетку. Значит, $c$ не должна быть отмеченной.

Аналогичным образом, можно доказать, что $d$ и $f$ не должны быть отмечены, а клетка $e$ должна быть отмечена.

Можно ли на доске $8\times8$ отметить 8 клеток так, чтобы любая горизонтальная полоска $1\times5$ содержала отмеченную клетку?

Да, вот пример, где x соответствуют отмеченной клетке.

o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o
o o o x o o o o

Можно ли на доске $8\times8$ отметить 7 клеток так, чтобы любая горизонтальная полоска $1\times5$ содержала отмеченную клетку?

В каждой горизонтали доски $8\times8$ выделим по 1 прямоугольнику $1\times5$.

Получим 8 прямоугольников, в каждом из которых нужно отметить не менее одной клети. Значит, отметить 7 клеток указанным образом нельзя.

Другое решение: Предположим нам удалось отметить 7 клеток указанным образом. Тогда, так как строк 8, а отмеченных клеток всего 7, то найдётся строка в которой нет отмеченных клеток. В этой строке без труда найдем полоску длины 5, в которой нет отмеченных клеток.

Какое наименьшее число клеток доски $8\times8$ необходимо отметить, чтобы каждый прямоугольник $1\times2$ содержал отмеченную клетку?

Доску 8×8 можно разбить на прямоугольники 1×2 - по 4 в каждой горизонтали. Каждый из 32 таких прямоугольников содержит хотя бы одну отмеченную клетку. Значит, отмеченных клеток не менее 32.

Пример из 32 отмеченных клеток – это чёрные клетки шахматной раскраски.

Полезно:
Начать с актуализации: каждый прямоугольник 1×2 занимает две клетки.

Обозначьте клетки на доске и определите, как они могут перекрываться.

Обсудить, как можно разбить доску на прямоугольники.

Обсудить, можно ли при малом числе клеток обеспечить, чтобы каждый прямоугольник 1х2 одержал отмеченную клетку.

На доске $4х4$ нельзя отметить 7 клеток так, чтобы каждый прямоугольник 1х2 содержал отмеченную клетку. 

*Восстановите доказательство.*

Разобьём доску на прямоугольники $1\times$__ так, что в каждом из них должна быть отмечена хотя бы одна клетка.

Всего их получится __.

Значит, всего отметить придётся не менее __ клеток.

А требовалось отметить __ клеток. Значит, это невозможно.

Разобьём доску на прямоугольники $1\times2$.

Всего их получится 8 штук. В каждом таком прямоугольнике должна быть отмечена хотя бы одна клетка.

Значит, всего отметить придётся не менее 8 клеток.

А требовалось отметить 7 клеток. Значит, это невозможно.

На доске $4\times4$ необходимо отметить 8 клеток так, чтобы каждый прямоугольник 1х2 содержал одну клетку. В ответ через пробел укажите координаты 8 клеток, одна из которых a1.

Рассмотрим прямоугольник из пары клеток (a1, a2). Так как клетка a1 отмечена, то клетку a2 отмечать нельзя. Значит в прямоугольнике из пары клеток (a2, a3) клетку a3 нужно отметить обязательно. Аналогичным образом, рассматривая пары (a3, a4), (a4, a8), (a8, a7), и т.д. получаем 8 отмеченных клеток.

Если посмотреть на шахматную раскраску этой доски, то можно взять все клетки одного цвета: a1, a3, b2, b4, c1, c3, d2 и d4 или a2, a4, b1, b3, c2, c4, d1 и d3 в зависимости от того, отмечена клетка a1 или нет.