По окружности расставлено 100 чисел. Каково их среднее арифметическое, если известно, что сумма любых восьми подряд идущих чисел равна 24?

Сложив суммы всех восьмерок подряд идущих чисел, получим 8S, где S - сумма всех 100 данных чисел. Итак, получаем, что 100 x 24 = 8S. Получается, что S = 300, а значит среднее арифметическое всех 100 чисел равно S / 100 = 3.

При работе с этой задачей полезно иметь ввиду, что в задачах с круговыми последовательностями или периодическими условиями полезно использовать свойства периодичности (повторяемости). Обратите внимание на то, как сумма групп может быть связана с общей суммой всех элементов.

Вася 1 сенятбря съел 450 граммов мороженого, 2 сентября - 150 граммов, 3 сентября вообще не ел мороженого, а затем каждый день, начиная с 4 сентября съедал количество мороженого, равное среднему арифметическому съеденного за все предыдущие дни сентября. Сколько килограммов мороженого Вася съел за сентябрь?

Среднее арифметическое съеденного за первые 3 дня - (450+150+0) : 3 = 200 г. Значит, 4 сентября Вася съест 200 г, при этом среднее значение съеденного за первые 4 дня останется равным 200 г (действительно, ( 3 x 200 + 200 ) : 4 = 200 ). И т.д., во все последующие дни Вася съедал по 200 г. Итого за сентябрь - 30 x 200 = 6000 г = 6 кг. 

Даны три числа. Если вычеркнуть первое число, то среднее арифметическое увеличится на 1, если же вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое увеличится на 4. На сколько уменьшится среднее арифметическое трех данных чисел, если вычеркнуть третье число?

Пусть среднее арифметическое трех данных чисел равно s, а сами числа - s+x, s+y, s+z, так что x+y+z=0. Из первого условия следует, что ((s+y)+(s+z)) / 2 - s = 1, откуда y+z =2. Аналогично, из второго условия имеем x+z = 8. Тогда x+y = -10, откуда ((s+x)+(s+y)) / 2 - s = -5.

При работе с этой задачей
1) Полезно обсудить, как связано среднее аврифметичсекое какого-то набора чисел с суммой средних арифметических всех пар/троек/четверок и т.д. из этого набора.
2) Можно использовать систему уравнений для анализа изменений среднего арифметического при вычеркивании чисел.

3) Полезно проанализировать, как каждое изменение влияет на итоговое значение.
 

Турист стартовал из лагеря и поднялся в гору, его средняя скорсть при подъеме равнялась 2км/ч. Затем он возвратился обратно в лагерь, средняя скорокть на обратном пути составила 4 км/ч. Во сколько раз время, затраченное на подъем, было больше времени, затраченного на обратный путь?

Если S - длина маршрута, то (из формулы средней скорости) время подъема равно t = S/2, а время на обратный путь - t‘ = S/4. видим, что t=2t‘.

Среднее арифметическое нескольких натуральных чисел равно 11,4. Какое наименьшее количество чисел могло быть?

Пусть k - количество чисел. Тогда их сумма равна 11,4k, что должно равняться целому числу. Иначе говоря, 114k должно делиться на 10. Так как 114 и 5 взаимно простые, то k должно делиться на 5. С другой стороны, легко привести конкретный пример, показывающий, что k=5 подходит.

Алина начинает тренировку с 10-минутного бега, потом идет шагом 10 минут, потом снова 10 минут бега, и т.д. Какова ее средняя скорость (в км/ч) за 50-минутную тренировку, если она бежит со скоростью 16 км/ч, а идет со скоростью 6 км/ч?

Посчитаем расстояние, которое преодоолеет Алина за 50 минут: 3 отрезка бега по 10 минут, т.е. полчаса со скоростью 16 км/ч - это 8 км, а также 2 отрезка хотьбы по 10 минут, т.е. 1 / 3 часа со скоростью 6 км/ч - это 2 км. Итого 10 км. Тогда, поскольку 50 минут - это 5 / 6 часа, средняя скоростью равна 10 : (5 / 6) = 12 км/ч.

При решении этоф задачи полезно:
1) актуализировать формулу зависимости расстояние = скорость * время
2) вычислить все расстояние, которое преодлевает Алина за время тренировки

3) Обсудить, что значит "средняя скорость".

Кирилл вышел на трехчасовую прогулку. Полчаса он идет со скоростью 6 км/час, потом отдыхает 15 минут, потом снова идет полчаса, и т.д. Чему равна средняя скорость Кирилла за всю прогулку (в км/ч)?

За 30-минутный промежуток хотьбы Кирилл проходит 3 км. Таких промежутков за 3 часа будет 4, значит общий пройденный путь равен 3x4 = 12 км. Средняя скорость тогда равна 12 / 3 = 4 км/ч.

Футболист перешел из одной команды в другую. При этом средний возраст в обеих командах уменьшился. Могло ли такое быть? 

Пусть средний возраст игроков первой команды равен A, а второй команды - B, причем B>A, а возраст перешедшего футболиста равен C, где A<C<B. Тогда ясно, что его переход понизит средний возраст в обеих командах.

Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 10. При каком наименьшем k можно утверждать, что все эти числа не превосходят k?

Сумма всех чисел равна 100, а сумма всех, кроме наибольшего из чисел, не меньше чем 1+2+3+...+9 = 45. Таким образом, наибольшее число не более 55, и значит k=55 работает. С другой стороны, пример 1, 2, 3, ... ,9, 55 показывает, что k<55 не всегда работает.

При решении этой задачи полезно:
1) Сделать вывод. чему равна сумма всех числ
2) Обсудить, как влияет изменение одного из чисел на всю сумму и на среднее арифметическое набора
Вообще для задач с ограничениями на значения используйте неравенства. Определите минимальные и максимальные значения, которые могут быть у чисел, чтобы получить требуемое среднее арифметическое.

Средний рост пятерки баскетболистов равен 205 см, а средний рост шести волейболистов - 194 см. Каков средний рост всех этих 11 спортсменов?

Суммарный рост баскетболистов равен $205\times5$ см, а суммарный рост волейболистов равен $194\times6$ см. Тогда суммарный рост всех 11 спортсменов равен

$205\times5+194\times6=(200+5)\times5+(200-6)\times6=200\times11-11=199\times11$ см. Видим, что средний рост равен 199 см. 

Ваня не очень любит историю, поэтому среднее арифметическое всех десяти полученных им оценок по истории равно 2,4. Какое наименьшее количество пятерок ему надо получить, чтобы итоговая оценка была 4? (Итоговая оценка получается из среднего арифметического всех полученных оценок округлением к ближайшему целому числу.)

Пусть Ваня получит в дополнение к имеющимся десяти оценкам k пятерок. Тогда количество полученных оценок будет 10+k, а общая сумма - 24+5k. Запишем наше условие

$(24+5k) : (10+k) \geq 3,5$.

После преобразования получается неравенство $3k \geq 22$. Значит, наименьшее значение k равно 8.

При работе с этой задачей
1) Важно уметь работать с условием, которое изменяет сумму и количество элементов. 2) Попробовать разбить задачу на этапы: сначала найти общую сумму оценок, затем определить, как изменение количества пятерок повлияет на среднее.

Аня записала на доске пять чисел, Среднее арифметическое всех этих чисел оказалось равным 10. Лиза дописана на доске одно число, и после этого среднее арифметическое всех написанных на доске чисел стало равным 20. Какое число записала Лиза?

Из условия следует, что сумма пяти чисел, записанных Аней, равна 10 x 5 = 50. Пусть Лиза дописала число a. Тогда сумма шести чисел будет равна 50+a. Но раз их среднее арифметическое равно 20, то их сумма равна 20 x 6 = 120. Значит, 50+a = 120, таким образом, a = 70.

Среднее арифметическое k различных натуральных чисел равно 7,5. Каково наибольшее возможное значение k?

Сумма S данных k чисел не меньше чем 1+2+3+...+k = k(k+1) / 2, поэтому их среднее арифметическое не меньше чем S / k= (k+1) / 2. Итак 7,5 больше или равно (k+1) / 2, откуда k+1 не превышает 15, значит k не больше 14. Пример на 14 чисел: 1,2,3,...,14.

При работе с этой задачей полезно:
1)  Использовать свойства средних арифметических и неравенств.
2) Начать с поиска минимальной суммы чисел, которая соответствует среднему арифметическому

3) Проанализировать, как можно увеличить количество чисел при заданной сумме.

Среднее арифметическое чисел a и b равно 7, а чисел c и d - 11. Чему равно среднее арифметическое всех четырех чисел a, b, c, d?

По условию, (a+b)/2=7, (c+d)/2=11, отсюда a+b=14, c+d=22, откуда a+b+c+d=36 и (a+b+c+d)/4 = 9.

Дано 5 чисел: 1,2,3,4, а пятое число неизвестно. Чему равно неизвестное число, если среднее арифметическое всех пяти чисел равно 5?

Пусть x - неизвестное число. По условию (1+2+3+4+x) / 5 = 5, откуда 1+2+3+4+x = 25 и x=15.

Среднее арифметическое чисел a и b равно 7. Чему равно среднее арифметическое трех чисел a, b и 13?

По условию, (a+b)/2=7, отсюда a+b=14, a+b+13=27 и (a+b+13)/3=9.

У пяти чисел среднее арифметическое равно 13. Чему равна сумма всех этих чисел?

Среднее арифметическое пяти чисел равно S / 5, где S - сумма чисел. По условию S/5=13, откуда S=65.

Чему равно среднее арифметическое чисел 1, 2, 3, 4, 100?

По определению, среднее арифметическое равно (1+2+3+4+100) : 5 = 22.