В выходные пассажиропоток в метро уменьшается на 40 процентов, а интервал между поездами увеличивается на 30 процентов. На сколько процентов уменьшается среднее количество людей в вагоне?

Пусть в будни за единицу времени набирается N человек в вагоне, так что за интервал t между поездами, в вагое набирается Nt человек. Тогда в выходные в вагоне оказываетс (0,6N) x (1,3t) = 0,78 Nt. Таким образом, среднее количество в вагоне уменьшилось на 100-78 = 22 процента.

При решении этой задачи целесообразно ввести удобные переменные.

Вспомнить и записать с помощью десятичных дробей, как изменяется количество людей. При этом нужно обсудить, что означает с сточки зрения изменения пассажиропотока увеличение интервала между электричками.

После подорожания количество продаваемых айфонов снизилось на 25 процентов, а выручка от продаж уменьшлась на 10 процентов. На сколько процентов подорожал айфон?

Пусть в начале продавали $N$ айфонов по цене $X$, так что выручка составляла $N\cdot X$. После повышения цен стали продавать $0,75\cdot N$, а выручка составила $0,9\cdot N\cdot x$. Значит, новая цена равна $0,9\cdot N\cdot x / (0,75\cdot N)=1,2\cdot x$. Получается, что цена выросла на $20$ процентов.

Концентрация соли в первом растворе – 20 процентов, а во втором – 32 процента. Смешали 1 л первого раствора и 2 л второго. Какова (в процентах) концентрация соли в получившейся смеси?

В 1 л первого раствора 0,2 л соли, а в 2 л второго раствора - $0,32\cdot2$ л соли, итого $0,2+0,32\cdot 2=0,84$ л соли. Значит, концентрация равна $0,84/3=0,28$, или 28 процентов.

Важно: Вспомнить /актуализировать/проговорить, что в задачах на растворы является величиной постоянной и не изменяется от количества жидкости и от смешения растворов.

Актуализировать представление процентов виде десятичных дробей.

Вспомнить, что такое концентрация.

В первом тайме футбольного матча "Реал" владел мячом 60 процентов времени, а во втором - 64 процента. Сколько процентов времени "Реал" владел мячом за весь матч? (Матч состоит из двух таймов. Считаем, что таймы равны по времени.)

*Способ 1*

Так как каждый тайм составил половину времени матча, можно выразить время владения мячом в процентах от времени матча: $60\cdot 0,5+64\cdot 0,5=30+32=62$ процента.

*Способ 2*

Пусть t - это время, которое продолжается одит тайм. Тогда матч длится 2t, а "Реал" владел мячом 0,60t + 0,64t = 1,34t. Тем самым, владение мячом за всю игру составляет 1,34t / (2t) = 0,62 от времени матча, т.е. 62 процента времени.

Петя и Вася стартовали в велосипедной гонке. Вася всю дистанцию ехал со скоростью, на 25 процентов превышающей скорость Пети. Сколько минут затратил на дистанцию Вася, если известно, что Петя проехал дистанцию за 20 минут?

*Способ 1*

Вася всю дистанцию ехал со скоростью, на 25 процентов превышающей скорость Пети, то есть скорость Васи была в 125/100=5/4 раз больше скорости Пети. Значит Вася затратил в 5/4 раз меньше времени. Получаем время Васи:

$20:5/4=20\cdot 4/5=16$ минут.

*Способ 2*

Пусть s - длина дистанции, а v - скорость Пети, тогда 1,25v - скорость Васи. Если Петя затратил на дистанцию время t = s / v, то Вася - время s / (1,25v) = 4/5 (s / v) = 4/5 t = 16 минут.

В начале торгов цены на акции компаний А и Б были равны - по 200 рублей за акцию. Затем цена на акции компании А дважды увеличилась на 10 процентов, а цена на акции компании Б увеличилась на 20 процентов. На сколько рублей дороже теперь стоит акция компании А?

После первого повышения цена акции А становится 200+20 = 220 руб., а после второго повышения 220+22 = 242 руб. Новая цена акции Б равна 200+40 = 240 руб. Итого искомая разность равна 2 рубля.

Требуется разлить 80 мл раствора в две пробирки так, чтобы объем раствора в первой пробирке составил 60 процентов от объема раствора во второй коробке. Сколько миллилитров должно оказаться в первой пробирке?

*Способ 1*

Если в первой пробирке окажется 60 процентов от объёма раствора во второй, то можно принять объем раствора во второй пробирке за 10 частей. Тогда в первой пробирке должно быть 6 частей. Всего 80 мл, значит на одну часть приходится 80:16=5 мл. Таким образом, в первой пробирке должно быть $6\cdot 5=30$ мл, а во второй $10\cdot 5=50$ мл раствора.

*Способ 2*

Пусть объем во второй пробирке равен x. Тогда объем в первой пробирке должен равняться 0,6x. Тогда общий объем равен 1,6x, что равно 80 мл. Далее из уравнения 1,6x = 80 находим x=50. Значит, во второй пробирке 50 мл, а в первой - 80-50=30 мл.

Начальная цена первого товара вдвое больше цены второго. Через месяц первый товар подорожал на 5 процентов, а второй - на 8 процентов. Еще через месяц первый товар подорожал на 8 процентов, а второй - на 5 процентов. Во сколько раз теперь первый товар дороже второго?

*Способ 1*

Повышение цены на 5 процентов означает, что цена увеличилась на 5/100, то есть составила 105/100 от исходной. Аналогичным образом повышение на 8 процентов означает, что цена увеличилась в 108/100 раз. 

Порядок повышений не важен, так как от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, каждая из двух исходных цен увеличена в одно и то же количество раз.

Если начальная цена первого товара была вдвое больше цены второго, то после повышений цена первого товара снова будет вдвое больше цены второго. Ведь в отношение новых цен – это дробь, числитель и знаменатель которой содержать одинаковые множители, их можно сократить. Получится отношение исходных цен.

*Способ 2*

Примем начальную цену первого товара за a. Тогда его цена после первого повышения цен стала равняться 1,05a, а после второго повышения цен - 1,08(1,05a). Итого цена возрасла в 1,05 x 1,08 раз. Аналогично рассуждаем и понимаем, что цена второго товара возрасла в такое же количество раз. Значит отношение цен товаров не изменилось по сравнению с начальным.

Важно: Вспомнить представление процентов в виде обыкновенных дробей.

Вспомнить представление увеличения/уменьшения значения какой-либо величины в виде умножения исходной величины на десятичную дробь.

Вспомнить, как найти отношение величин. Проанализировать, что в рассматриваемой ситуации остается неизменным.

Цена товара уменьшилась на 10 процентов, а затем еще на 20 процентов. На сколько процентов уменьшилась цена в итоге (по сравнению с исходной ценой) ?

*Способ 1*

После первого понижения новая цена составила 9/10 от исходной, а после второго 8/10 от 9/10 исходной. То есть 72/100 или 72 процента. Тем самым, цена уменьшилась на 100-72=28 процентов.

*Способ 2*

Примем начальную цену за x. Тогда цена после первого понижения цен - 0,9x, а после второго - 0,8(0,9x) = 0,72x. Тем самым, цена уменьшилась на 100-72 = 28 процентов.

Одну сторону прямоугольника уменьшили на 10 процентов, а другую - на 20. На сколько процентов уменьшилась площадь?

*Способ 1*

При уменьшении одной стороны на 10 процентов площадь уменьшится и составит 9/10 от исходной. При уменьшении второй стороны на 20 процентов новая площадь составит 8/10 от 9/10 исходной. Перемножим дроби и получим часть, которую новая площадь составляет от исходной: (8\cdot 9)/(10\cdot 10)=72/100. Что на 28 процентов меньше, чем 100.

*Способ 2*

Пусть a и b – длина и ширина данного прямоугольника, тогда его площадь равна ab, После уменьшения сторон площадь стала равна (0,9a) x (0,8b) = 0,72 ab. Тем самым, площадь уменьшилась на 100-72 = 28 процентов.

На дне рождения Малыша Карлсон вдвоем с именинником съели праздничный пирог. Карлсон пришел заранее и сразу приступил к поеданию пирога. Через 20 минут подключился Малыш, а еще через 10 минут от пирога остались только свечки. Какая доля пирога (в процентах) досталась Малышу, если скорость поедания пирога у Карлсона втрое выше, чем у Малыша?

*Способ 1*

Пусть Малыш успел съесть 1 часть пирога. Тогда за 10 минут Карлсон съел 3 таких части, а всего за 30 минут Карлсон съел 9 частей. Значит, из 10 частей Малышу досталась только одна, т.е. 10 процентов.

*Способ 2*

Пусть x - количество пирога, которое досталось Малышу. Тогда за 10 минут Карлсон съел 3x, а всего Карлсону досталось 9x (он ел пирог 3 отрезка по 10 минут). Значит, из 10x Малышу досталось x, т.е. 10 процентов.

Полезно:
Обсудить, что означает фраза «скорость поедания пирога у Карлсона втрое выше, чем у Малыша».

Выразить соотношение частей пирога Карлсона и Малыша за 10 минут. У Карлсона за 10 минут и у Карлсона за 20 минут.

Визуализировать с помощью отрезочной или круговой диаграммы.

Вспомнить представление процентов в виде обыкновенных дробей.

40 процентов объема архива загрузилось на жесткий диск за 10 секунд. Сколько еще секунд ждать до завершения загрузки? (Считаем, что загрузка идет равномерно.)

*Способ 1*

40 процентов объема архива загрузилось на жесткий диск за 10 секунд. Осталось загрузить ещё 60 процентов, что в 1,5 раза больше времени, т.е 15 секунд.

*Способ 2*

Если x – объем архива, то загрузилось 0,4x, а осталось загрузить 0,6x – это в 1,5 раза больше. Значит, и осталось ждать в 1,5 раза больше времени, т.е 15 секунд.

*Способ 3*

40 процентов объема архива загрузилось на жесткий диск за 10 секунд. Значит, 4 процента загрузилось за 1 секунду. А все на 100 процентов потребовалось в 25 раз больше – 25\cdot 1=25 секунд. Осталось заметить, что из них уже прошло 10 секунд. Получаем ответ: 25-10=15 секунд.

В каждом из двух классов 8"А" и 8 "Б" 25 процентов отличников. Известно, что в 8"А" на одного отличника больше, чем в 8"Б". На сколько человек больше в 8"А" классе, чем в 8"Б"?

*Способ 2*

25 процентов – это 1/4. Значит, в каждом из классов 8"А" и 8 "Б" учеников в 4 раза больше, чем отличников. По условию в 8"А" на одного отличника больше, чем в 8"Б", значит всего учеников в 8"А" на 4 больше, чем в 8"Б".

*Способ 2*

Если в классе n человек, то отличников - 0,25n. Удобно обозначить за k количество отличников в 8"А". Тогда количество учеников в 8"А" равно 4k. По условию в 8"Б" (k-1) отличник и всего учеников 4(k-1). Тогда нужная нам разность количеств равна 4k - 4(k-1) = 4.

Целесообразно вспомнить представление процентов в виде обыкновенных дробей.

Записать разными способами соотношение количества отличников и общего количества человек в обоих классах.

После 10-процентной скидки товар стал стоить 810 рублей. Какова была цена товара (в рублях) до скидки?

*Способ 1*

Новая цена от старой составляет 9/10, значит старая цена равна 

$810:9/10=810\cdot 10/9=900$ рублей

*Способ 2*

После скидки в 10 провентов цена составила 90 процентов от исходной. Если на 90 процентов приходится 810 рублей, то на 1 процент приходится в 90 раз меньше.

810:90=9 рублей.

Значит все 100 процентов – это 900 рублей.

*Способ 3*

Пусть начальная цена товара – x, тогда цена после скидки цена равна 0,9x. Получаем уравнение 0,9x = 810. Из него находим x = 900.

Зарплату всем работникам фирмы повысили на одно и то же количество процентов. Известно, что работнику с зарплатой 50000 руб. зарплату повысили на 5500 руб. Какова новая зарплата работника, получавшего до повышения 40000 руб.?

Повышение зарплаты составляет 1100 руб. на каждые 10000 руб. (или 11 процентов). Поэтому при зарплате 40000 руб. повышение составит 4400 руб. Тем самым, новая зарплата равна 40000+4400=44400 руб.

От килограммового куска сыра отрезали 150 граммов. На сколько процентов уменьшилась масса куска?

Так как 1 килограмм - это 1000 граммов, то отрезанная доля равна 150/1000 = 15/100, т.е. 15 процентов.