Килограмм говядины с костями стоит 780 рублей, килограмм говядины без костей — 900 рублей, а килограмм костей — 150 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?

Переведём всё в граммы; тогда цены станут 0,78, 0,9 и 0,15 рублей за грамм говядины с костями, без костей и просто костей соответственно.
Пусть $x$ - количество граммов костей в килограмме говядины. Эти кости стоят $0,15x$ рублей, оставшиеся $1000-x$ граммов говядины - $0,9(1000-x)$. Получаем, что килограмм говядины с костями стоит $780=0,15x+0,9(1000-x)$, откуда $900-0,75x=780$, $0,75x=120$, $x=160$.

Вчера килограмм конфет стоил столько же, сколько сегодня 800 г мармелада. А килограмм мармелада вчера стоил столько же, сколько сегодня полкило конфет. На мармелад вчера была скидка, а конфеты вчера и сегодня стоят одинаково. Сегодня Маша купила по килограмму конфет и мармелада. А вчера Маша на те же деньги купила полтора килограмма мармелада и сколько-то конфет. Сколько? Ответ запишите в граммах.

Килограмм мармелада вчера стоит столько же, сколько 400 г мармелада сегодня. Пусть вчера было куплено $x$ г конфет. Переведём всё (конфеты и вчерашний мармелад) в мармелад сегодня. Сегодня был куплен эквивалент 1800 г мармелада, а вчера – эквивалент 600 г мармелада сегодня (это вчерашние полтора кг мармелада) и ещё $4x/5$ мармелада сегодня (это вчерашние конфеты). Отсюда $4x/5 = 1200$, и $x = 1500$.

Вася и Ваня принесли несколько роз и подарили их Асе и Ане. Вася принёс
всего 18 роз, Ане оба мальчика вместе подарили всего 7 роз. Кто больше подарил цветов – Вася Асе или Ваня Ане, и на сколько?
Вася Асе подарил на __ роз __ (больше/меньше), чем Ваня Ане.

Пусть $a$ и $b$ - количество роз, которые подарил Вася Асе и Ане соответственно (тогда $a+b=18). И пусть $d$ - количество роз, которые подарил Ваня Ане (тогда по условию $b+d=7$).Вычитая эти равенства, получаем $a-d=11$. Значит, Вася Асе подарил на 11 роз больше, чем Ваня Ане.

В деревню приехал гипнотизёр и провел анкетирование о наличии ног и голов среди всех кур и коров. Все куры утверждали, что у них две головы и три ноги, а все коровы — что у них две головы и пять ног. Согласно полученным данным, в деревне 123456 ног и 53088 голов. А сколько на самом деле ног у всех животных?

Пусть всего $x$ кур и $y$ коров. Тогда, согласно анкетным данным, у них $2x+2y$ голов и $3x+5y$ ног. Отсюда $2x+2y=53088$ (отсюда $x+y=26544$), $3x+5y=123456$. Вычитая из последнего уравнения предпоследнее, получим $2x+4y=96912$. Это и есть истинное количество ног.

На Марсе живут 63 марсианина, одни из них – красные, другие – зелёные. Однажды они решили высадить яблоневый сад. Каждый красный марсианин посадил по 5 яблонь, а каждый зелёный – по 6. Скоро яблони зацвели, и на каждой из них выросло по 10 яблок. Вышло так, что урожай собирали только зелёные марсиане, и каждому из них досталось ровно по 100 яблок. Сколько на Марсе красных марсиан?

Пусть красных марсиан $k$, зелёных – $z$. Тогда яблонь $5k + 6z$, а яблок выросло $50k + 60z$. С другой стороны, количество яблок равно $100z$. Получается, что $5k = 4z$. Откуда вместе с тем условием, что $k+z = 63$, получаем, что $k = 28$.

У Максима есть немного карманных денег, на которые он может купить себе одно мороженое, но на второе мороженое денег уже не хватает. Мама обнаружила, что если дать Максиму в четыре раза больше денег, чем ему не хватает до второго мороженого, то он сможет купить ровно три мороженых. А во сколько раз больше, чем ему не хватает на второе, надо дать ему денег, чтобы хватило ровно на четыре мороженых?
В(о) __ раз(а).

Пусть $x$ - стоимость мороженого, $y$ сейчас денег у Максима. Тогда Максиму не хватает на второе мороженое $2x-y$. Если Максиму дать $4(2x-y)$, то у него будет $8x-4y+y=8x-3y$, и это равно $3x$. Отсюда $y=5/3x$ и $2x-y=x/3$, т.е. ему не хватает до второго мороженого трети его цены. Но тогда до четырёх мороженых не хватает семи третих цены мороженого, а значит, нужно увеличить эту сумму в 7 раз.

У Бори и Вити есть по пакетику конфет, в каждом количество конфет одинаковое. Боря съел несколько конфет из своего пакетика, а Витя съел из своего столько, сколько осталось у Бори. Вместе у ребят остались 24 конфеты. Сколько конфет было в пакетике у каждого?

Обозначим за $x$ количество конфет в пакете у каждого. Пусть Боря съел $y$ конфет из своего пакетика, а Витя - $x-y$ конфет из своего. У них вместе осталось $y+x-y=x=24$ конфеты. Итак, $x=24$.

Аня купила яблоко, грушу и хурму. Яблоко и груша весят вместе 205 грамм, груша и хурма - 225 грамм, а яблоко и хурма - 210 грамм. Сколько грамм весит
самый легкий фрукт?

Обозначим за Я, Г и Х вес яблока, груши и хурмы соответственно. Тогда Я+Г=205, Г+Х=225, Я+Х=210. Сложив это всё, получим 2Я+2Г+2Х=640 г, а тогда комплект из яблока, груши и хурмы весит 320 г. Так как яблоко и груша весят 205 г, то хурма весит 320-205=115 г. Аналогично яблоко весит 320-225=95 г, груша - 320-210=110 г. Самый лёгкий из фруктов (яблоко) весит 95 г.

На доске написано десять последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, сумма оставшихся стала равной 2024. Какое число стерли?

Пусть на достке изначально были написаны числа от $x$ до $x+9$ включительно. Их сумма была $10x+45$. И пусть стёртым оказалось число $x+y$ (где $y\leq 9$). Тогда оставшаяся сумма равна $9x+45-y=2024$, откуда $9x-y=1979$. Заметим, что $9x$ делится на 9, а число 1979 доёт остаток 8 при делении на 9. А значит, $y=8$, $9x=1971$ и $x=219$.

Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища, туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг. Сколько весит рыба?

Пусть Г и Т - вес головы и туловища соответственно. По условию Г=Т/2+1, Т=Г+1. Тогда Т=Т/2+2, т.е. половина туловища весит 2 кг. Значит, туловище рыбы весит 4 кг, голова 3 кг, хвост 1 кг, а вся рыба - 8 кг.

Лена позвала подружек есть конфеты. Перед их приходом она подумала: <<Если я сейчас съем 7 конфет, то каждой из нас останется по четыре конфеты. А если я сейчас ещё позову Вику, а она принесёт три конфеты, то каждой из нас достанется по пять конфет>>. А сколько конфет у Лены?

Пусть у Лены $x$ конфет и $a$ подружек (с Викой). Тогда $x-7=4a$ (мы считаем в правой части $a$, потому что считаем количество девочек без Вики, но с Леной) и $x+3=5(a+1)$. Отсюда $x=4a+7$, $x=5a+2$. Таким образом, $4a+7=5a+2$, $7-2=5a-4a$, $a=5$, откуда $x=27$.

Света, Маша и Оля разделили между собой 80 конфет. Света заметила, что если она отдаст все свои конфеты Маше, то у Маши и Оли станет поровну конфет, а если она отдаст все свои конфеты Оле, то у Оли станет в четыре раза больше конфет, чем у Маши. Сколько конфет было у Светы?

Пусть у Светы, Маши и Оли было соответственно С, М и О конфет. Из первого условия следует, что С+М=О=40, а из второго - что С+О=4М. Отсюда О=40, М=40-С, С+40=4(40-С), т.е. С+40=160-4С, или 5С=120, откуда С=24.

Незнайка собирался построить на Луне линию метро из трёх станций, но у него было всего 15 миллионов, и этих денег на все три станции не хватило. Поэтому Незнайка остановился на варианте открыть только две из трех станций. Оказалось, что если не открывать станцию <<Солнечная>>, всё равно не хватит двух миллионов. Зато если не открывать <<Марсовую>>, то на остальные станции хватит, и ещё два миллиона останется. А если не открывать станцию <<Венера>>, то останется целых пять миллионов! А сколько нужно денег для открытия всех станций?

Ответ: __ миллионов.

Пусть С, М и В - количество денег, требуемых для открытия станций <<Солнечная>>, <<Марсовая>> и <<Венера>> соответственно. По условию М+В=17 (Незнайке не хватит двух миллионов, а всего у Незнайки 15). Аналогично С+В=13, С+М=10. Сложив все три уравнения, получим 2С+2М+2В=40, то есть С+М+В=20.

Аркадий сказал Борису: "Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое богаче тебя". Борис ответил: "Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя." Сколько руюлей было у каждого?

У Аркадия __, у Бориса __

Пусть у Аркадия $x$ рублей, а у Бориса $y$. По первому условию $x+100=2(y-100)$, то есть $x=2y-300$. С другой стороны, $y+10=6(x-10)$, то есть $y=6x-70$. Значит, $x=2(6x-70)-300=12x-440$, откуда $11x=440$, $x=40$. Тогда $y=240-70=170$. Итого у Аркадия 40 рублей, у Бориса 170.

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

У ослицы __ мешков, у мула __.

Пусть у ослицы было О мешков, а у мула - М мешков. Если ослица даст мулу один мешок, то у неё останется О-1 мешок, а у мула - М+1 мешок. По условию М+1=2(О-1), то есть $М=2О-3. Если же мыл даст ослице мешок, то у ослицы будет О+1 мешок, а у мула М-1, и по условию О+1=М-1, то есть М=О+2. Отсюда М=О+2=2О-3, 2+3=2О-О$, $О=5$, $М=7$. Итак, у ослицы пять мешков, а у мула семь.

У мальчика в два раза больше братьев, чем сестер, а у его сестры втрое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье мальчиков и сколько девочек?

Мальчиков __, девочек __.

Пусть в семье $m$ мальчиков и $d$ девочек. Тогда у мальчика $m-1$ брат и $d$ сестёр, и по условию, $m-1=2d$, то есть $m=2d+1$. А у его сестры $m$ братьев и $d-1$ сестра, и по условию $m=3(d-1)$. Отсюда $2d+1=3d-3$, то есть $1+3=3d-2d$, $d=4$. Тогда $m=9$.

Ведро, полное воды, весит 15 килограмм. То же ведро, но заполненное водой наполовину, весит столько же, сколько и два пустых ведра. А сколько весит пустое ведро?

Пусть $x$ - вес пустого ведра, а $15-x$ - вес воды в нём. Тогда $x+\frac{15-x}{2}=2x$, то есть $\frac{15-x}{2}=x$, $15-x=2x$, $3x=15$, $x=5$. Итак, ведро весит 5 кг.