Два бегуна бегут друг за другом с одинаковой скоростью 150 м/мин, на расстоянии 300м друг от друга. По пути им встретилась гора. При подъеме в гору каждый снизил скорость на 50 м/мин, а на спуске затем увеличил на 100 м/мин и дальше побежал с изначальной скоростью. Какое максимальное расстояние (в метрах) могло оказаться между бегунами?

Пример построим в конце решения. Докажем, что это максимум. Заметим, что до подножья горы спортсмены добегут с разницей в 2 минуты (300:150).
То есть второй повторяет движения первого с запаздыванием в 2 минуты.
Рассмотрим такую интерпретацию: пусть оба бегуна находятся на
движущемся со скоростью 150м/мин транспортере. Тогда изначально они
просто стоят на нем на расстоянии 300м. Потом первый начинает пятиться
назад со скоростью 50м/мин, а через некоторое время двигаться вперед
тоже со скоростью 50м/мин. Заметим, что теперь абсолютно неважно, в
какой момент происходит движение назад и на сколько, так как второй через
некоторое время (через 2 минуты) сделает то же самое и «компенсирует»
изменение. Поэтому увеличение расстояния между бегунами зависит
исключительно от того, как долго первый сможет двигаться вперед, а второй
еще этого не делает. Поскольку запаздывание во времени равно 2 минуты,
то максимальное время, когда первый увеличивает расстояние – это 2
минуты. И за это время он сможет увеличить расстояние максимум на 100м. Этот пример достигается, если гора 9как подъём, так и спуск) достаточно длинные.

Дома Ани и Вани расположены вдоль прямой дороги. Между их домами находятся школа и магазин, которые делят отрезок между домами на три равные части. Если Аня и Ваня выйдут из дома одновременно и пойдут навстречу друг другу, то они встретятся возле магазина. Если Аня поедет на самокате, увеличив тем самым свою скорость на 150 м/мин, то они встретятся возле школы. С какой скоростью (в метрах в минуту) ходит Ваня?

Так как при пересадке на самокат Аня едет быстрее, то встреча должна
произойти ближе к дому Ани. Поэтому, если идти от дома Ани к дому Вани, сначала встретится магазин, потом школа.
Когда ребята идут пешком, они встречаются возле магазина, таким образом, Аня проходит треть пути, а Ваня — две трети. Так как время движения одинаково, скорость Вани вдвое больше скорости Ани, обозначим их через 2v и v м/мин.
При поездке на самокате Аня проезжает две трети пути, а Ваня проходит треть. Значит, скорость Ани вдвое больше скорости Вани и равна 2·2v = 4v м/мин. Скорость Ани увеличилась на 4v − v = 3v м/мин, что по условию составляет 150 м/мин. Отсюда 3v = 150, v = 50, скорость Вани 2v = 2 · 50 = 100 м/мин.

Два бегуна одновременно стартуют  из одной точки и бегут по прямой. Первый --- со скоростью 1 км/ч, второй --- со скоростью 2 км/ч. Как только один из бегунов отстаёт от другого на 100 метров, он моментально увеличивает свою скорость на 2 км/ч. Какая скорость будет у самого быстрого бегуна через три часа после старта?

Скорость сближения всегда составляет 1 км/ч, и отставание на 100 метров образуется (и ликвидируется) за 1/10 часа=6 минут. Поэтому первое увеличение скорости будет через 6 минут после старта, а каждое следующее --- через 12 минут после предыдущего. Поэтому за 3 часа случится $15$ увеличений скорости. Соответственно, скорость первого бегуна увеличится 8 раз, скорость второго --- 7 раз. Окончательно, скорости будут составлять соответственно $1+8\cdot2=17$ км/ч у первого и $2+7\cdot 2=16$ км/ч у второго.

Из Афин в Илион шёл Ахиллес и нёс в руках черепаху. В какой-то момент черепаха выскользнула из рук Ахиллеса. Черепаха догадывалась, что её в Илионе не ждёт ничего хорошего, и, выскользнув, поползла обратно в Афины. Через некоторое время Ахиллес заметил пропажу и пошёл обратно. Догнав черепаху, он снова пошёл в Илион и всё-таки оказался под его стенами, хотя и на 2 часа 20 минут позже, чем он предполагал изначально. Скорость Ахиллеса — 6 км/ч, скорость черепахи — 1 км/ч. Найдите расстояние (в км), которое проползла черепаха.

Пусть $t$ - время, которое Ахиллес не замечал пропажу, $T$ - время, которое Ахиллес догонял черепаху. По условию $2T=140$ минут, откуда $T=70$ минут. Сосчитаем расстояние: $6T=T+t+6t$ (слева - сколько возвращался Ахиллес, справа - сколько проползла Черепаха плюс сколько шёл Ахиллес, пока не заметил пропажу). Тогда $5T=7t$ и $t=50$ минут. Тогда черепаха ползла сама $t+T=2$ часа, и проползла она 2 км.

Как-то раз почтальон Печкин обнаружил, что забыл свой велосипед у дяди Фёдора. В тот же день дядя Фёдор обнаружил, что забыл свой велосипед у Печкина. Поэтому ровно в 8 утра каждый из них отправился в путь к другому, а дойдя, немедленно сел на велосипед и поехал обратно. Дядя Фёдор ездит на велосипеде втрое быстрее, чем ходит пешком, а Печкин на велосипеде едет в два раза быстрее, чем идёт пешком. Оба они вернулись домой ровно в 11:00. На каком расстоянии (в метрах) от дома дяди Фёдора они повстречались, когда ехали обратно? Расстояние между их домами равно 10 км 500 м.

Дядя Фёдор провёл за рулём четверть всего времени, а Печкин –– треть. За это время каждый из них проехал одно и то же расстояние. Следовательно, Печкин едет со скоростью 3/4 от скорости дяди Фёдора, поэтому от встречи до возвращения домой ему осталось проехать 3/7 всего пути, в то время как дяде Фёдору осталось проехать 4/7 пути. 4/7 от 10,5 км составляет 6 км.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между А и велосипедистом. Ещё через 15 минут они встретились и продолжили свой путь. Сколько времени (в минутах) пешеход шёл до В? (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.)

Обозначим за $v$ скорость пешехода, а за $V$ - велосипедиста. От начала до точки встречи прошло 75 минут. Следователно, растояние от А до В равно $75(v+V)$ (общее расстояние складывается из пройденного пешеходом и велосипедистом).
Через час после начала движения пешеход прошёл $60v$. Велосипедисту в этот момент оставалось до пешехода $15(v+V)$ (так как они встретились ещё через 15 минут). Эти расстояния равны: $60v=15v+15V$, откуда $V=3v$, т.е. велосипедист втрое быстрее пешехода.  Тогда общее расстояние равно $75v+75V=75v+75\cdot 3v=300v$, так что пешеход проходит это общее расстояние за 300 минут.

Из пункта А по прямолинейной дороге выехал автомобиль, а через некоторое время следом за ним – мотоциклист. Догнав автомобиль, он повернул обратно и вернулся в пункт А, причём автомобиль в момент возвращения находился на расстоянии в 3 раза большем от А, чем в момент выезда мотоциклиста. Найдите отношение скоростей мотоциклиста и автомобиля.

Пусть $x$ - расстояние от автомобиля до пункта А в момент, когда мотоциклист выехал из А. После этого автомобиль проехал ещё $2x$, и а значит, ровно на середине этого участка его догнал мотоциклист (путь мотоциклиста "туда" и "обратно" одинаков). После этого момента автомобиль проехал ещё $x$, а мотоциклист - $2x$. Значит, из скорости отличаются в 2 раза.

Есть круговой движущийся траволатор. Дима ходит по этому траволатору в одном и том же направлении, а Андрей ходит рядом с ним в ту же сторону. Дима обгоняет Андрея каждые десять минут. В какой-то момент траволатор стал двигаться с той же скоростью, но в противоположную сторону, и теперь Андрей обгоняет Диму каждые десять минут. Найдите отношения скоростей Андрея и Димы.

Пуcть A и D — расстояние, которое Андрей (без траволатора) и Дима проходят за 10 минут, а T — аналогичное расстояние для траволатора. По условию, Дима на траволаторе за 10 минут обгоняет Андрея ровно на 1 круг, то есть $10(D+T)=10A+1$ (мы измеряем расстояние в кругах траволатора, почему бы и нет?). Когда траволатор начал двигаться в обратную сторону, то получается другое равенство: $10(D-T) = 10A-1$. Сложив два равенства, получим $20D = 20A$, откуда $D=A$, то есть за равное время Дима и Андрей проходят равные расстояния.

Яша и Юра бегут по круговому стадиону в одну и ту же сторону. Их скорости постоянны, причём скорость Яши больше 12 км/ч, а скорость Юры равняется 10 км/ч. Они встречаются каждые 10 минут. Через некоторое время Юра ускорился на 1 км/ч, а Яша замедлился на 1 км/ч, и теперь их встречи стали происходить раз в 15 минут. Найдите скорость Яши до ускорения и выразите её в километрах в час.

Пусть $S$ --- длина круга на стадионе, а скорость Яши равна $v$. Тогда
$$
(v-10)\cdot 1/6=S, ~~(v-10-2)\cdot 1/4 =S
$$
(скорость сближения умножаем на время в часах). Вычтем одно равенство их другого и получим, что $(v-10)(1/4-1/6)=1/2$. Отсюда получаем, что разность скоростей $v-10$ равна 6 км/ч. Следовательно, Яша бежал со скоростью 16 км/ч.

Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идёт по течению. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если собственная скорость катера в четверо больше скорости течения реки? Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

Против течения катер идёт в три раза быстрее, чем плот по течению. Поэтому до точки встречи катер пройдёт 3/4 пути, а плот - 1/4. После этого катер развернётся, и его скорость станет в 5 раз больше скорости плота. Значит, пока катер пройдёт 3/4 пути, плот проплывёт 3/20 пути. Итого плот проплывёт 1/4+3/20=8/20=2/5.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из пункта В в пункт А навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени (в минутах) затратил пешеход на путь из А в В?

Так как велосипедист едет в 5 раз быстрее пешехода, то до места встречи он проедет в 5 раз большее расстояние, т.е. пешеход до места встречи пройдёт всего 1/6 часть пути, а велосипедист проедет остальные 5/6 пути. После встречи у велосипедиста и пешехода было одинаковое расстояние до пункта А. Велосипедист его преодолел за 1/5 от времени пешехода, о астальные 4/5 - это 30 минут. Значит, от места встречи до А пешеход шёл 37,5 минут. Но эти 37,5 минут - это не весь путь пешехода, а лишь 5/6 всего пути. Следовательно, весь путь будет занимать $37,5\cdot 5/6=45$ минут.

Ровно в полдень Виктор Геннадьевич и Геннадий Викторович, заметив друг друга на улице, сразу побежали в противоположные стороны. В 12:20 они вспомнили, что на самом деле дружат, и, не меняя своих скоростей, побежали навстречу друг другу. Они встретились в 12:45. Во сколько раз расстояние между ними в 12:20 было больше расстояния между ними в 12:00?
В __ раз.

Когда они бежали навстречу друг другу, то 20 минут ушло на то, чтобы вернуться на свои исходные позиции. После этого им хватило 5 минут, чтобы добежать друг до друга. Это означает, что когда они убегали друг от друга, они пробежали расстояние в четыре раза большее, чем было между ними в начале. Значит, всего расстояние между ними стало в пять раз больше.

Впереди на прямой дороге собака заметила кусок колбасы. Собака бежит к колбасе со скоростью 30км/ч, а потом сразу бежит обратно к хозяину со скоростью 15 км/ч. Хозяин идёт за собакой со скоростью 5 км/ч. Они встретились через 9 минут. Какое расстояние пробежала собака? Ответ дайте в метрах.

Когда собака бенжит за колбасой, скорость её удаления от хозяина равна 30-5=25 км/ч. Когда она бежит к хозяину, скорость их сближения составляет 15+5=20 км/ч. Можно перейти в систему отсчёта, связанную с хозяном; тогда неподвижный хозяин сперва увидит удаляющуюся собаку со скоростью 25 км/ч, а затем - приближающуюся со скоростью 20 км/ч. Так как собака (относительно хозяина) удалилась и приблизилась на одинаковое расстояние, то время удаления/приближения обратно пропорционально скорости. Следовательно, время удаления в 5/4 раза меньше времени приближения, т.е. собака удалялась от хозяина 4 минуты, а бежала обратно 5 минут. За первые 4 минуты ока пробежала (со скоростью 30 км/ч=500 м/мин) 2000 метров, а за следующие 5 минут (когда её скорость бега была 15 км/ч=250 м/мин) - 1250 метров. Итого она пробежала 3250 метров.

По берегу реки через равные расстояния стоят столбы. Когда катер идёт по течению, то пассажир он проходит мимо какого-то столба каждые 30 секунд. Когда катер идёт против течения, он проходит мимо какого-то столба каждые 40 секунд. Катер движется быстрее реки. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Пусть $v$ - скорость реки, $V$ - скорость катера. Одно и то же расстояние между столбами равно $30(v+V)$ и $40(V-v)$. Итак, $30(V+v)=40(V-v)$, $3V+3v=4V-4v$, $7v=V$, т.е. скорость катера в 7 раз больше скорости реки.

Река течёт со скоростью 3 км/ч, а скорость катера в спокойной воде - 15 км/ч. Катер отправился из пункта А в 12.00 и прибыл в пункт В в 15.00. Пункт В находится выше по течению, чем А. После высадки и посадки пассажиров катер отправился снова в А в 16.00. Во сколько он прибудет в А?

Скорость катера против течения - 12 км/ч, а против течения он шёл 2 часа. Значит, расстояник от А до И равно 24 км. Скорость катера по течению - 18 км/ч, и 24 км катер преодолеет за 1 час 20 минут. Значит, его время прибытия - 17.20.

Велосипедист и пешеход находятся на некотором расстоянии друг от друга. Скорость велосипедиста в пять раз больше скорости пешехода. Если пешеход пойдёт в сторону, противоположную велосипедисту, то велосипедист его догонит за 12 минут. А через сколько минут произойдёт их встреча, если пешеход пойдёт велосипедисту навстречу?

Пусть скорость пешехода $v$, а скорость велосипедиста - $5v$. Если пешеход пойдёт от велосипедиста, то их скорость сближения окажется $4v$, а если к велосипедисту, то $6v$, т.е. в полтора раза больше. Следовательно, и их встреча произойдёт в полтора раза быстрее, т.е. через 8 мирут.