На столе лежат две кучи по 10 конфет. Петя и Вася по очереди берут конфеты. Начинает Петя. За один ход можно взять сколько угодно конфет, но только из одной кучи. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Петя первым делом взял 9 конфет из первой кучи. Как должен действовать Вася, чтобы победить? Он должен взять __ конфет из __ кучи.

Если Вася возьмёт 9 конфет из второй куче, то в каждой куче останется по одной конфете.  За один ход из этой позиции выиграть (для этого нужно есть сразу из двух куч, что запрещено),а за два хода игра гарантированно закончится (за каждый ход нужно что-нибудь взять). Значит, Вася выиграет.

Это единственный ход, выигрышный для Васи. (Почему?)

Ферзь стоит на клетке А2 шахматной доски. Петя и Вася по очереди могут передвигать его на любое количество клеток, но только в трёх направлениях - вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Начинает Пктя. Если кто-то не может сделать ход согласно правилам, то он проигрывает. Какой ход нужно сделать Пете, чтобы точно выиграть после второго своего хода?

Выигрывает тот, кто сможет поставить ферзя на поле H8. Петя должен походить по диагонали на F7. Тогда Вася следующим ходом сможет загнать ферзя на какую-нибдь клетку, соседнюю с Н8, но не на саму Н8. Следующим ходом Петя гарантированно выиграет.

Несложно видеть, что при любом другом ходе Петя не сможет выиграть в два хода (хотя есть ещё один ход на А4, гарантирующий Пете выигрыш через несколько ходов).

На столе лежат три яблока, массой 90, 100 и 115 и 130 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яюлока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт ещё одно.  Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть больше Васи?

Петя должен взять яблоко массой 130 г. Каждый в любом случае съест по два яблока, но если первый возьмёт яблоко 130 г, то он обеспечит себе как минимум 90+130, что больше, чем 100+115 г.

На шахматной доске, на поле В2, стоит чёрный конь, а на поле D7 - белый король. Петя должен походить конём, затем конём походит Вася. Вася хочет объявить королю шах, а Пете жаль короля, и он хочет помешать Васе. Какой ход следует сделать Пете?

Всего король может сделать четыре хода: на А4, на С4, на D3 и на D1. В первых двух случаях Вася сможет оходить на B6 (и объявить шах), а в третьем - С5 (тоже с шахом). Значит, остаётся ход на D1. Легко видеть, что в этом случае Вася не сможет зашаховать короля. В самом деле, конь сможет подвинуться максимум на третью горизонталь и зашаховать максимум пятую, а король находится на седьмой.

На столе лежат три яблока, массой 90, 100 и 110 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яюлока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт третье. Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть боьлше Васи?

Если Петя возьмёт меньшее яблоко, то он догрызёт его быстрее противника и сможет взять ещё одно, т.е. он съесть не менее массы двух самых маленьких яблок, а это 190 г. А Вася сможет съесть максимум одно яблоко, так что он съест не более 110 г.

Все остальные ходы Пети проигрышные, ведь Вася сможет тогда взять яблоко массой 90 г и воспользоваться той же стратегией.

На столе лежат три яблока, массой 90, 100 и 210 г. Петя выбирает одно яблоко, затем Вася выбирает одно из оставшихся яблок. Они одновременно начинают есть своё яблоко с постоянной скоростью (скорость поедания яюлока у Пети и Васи одинаковая). Кто первый съест своё яблоко, тот берёт третье. Яблоко какой массы должен взять Петя, чтобы съесть боьлше Васи?

Пете следует взять самое большое яблоко - ведь даже если Вася съест все остальные, то он сможет съесть максимум 90+100=190<210 г.

На столе - куча из 100 конфет. Сперва Петя берёт некоторое количество конфет (от 1 до 5). Затем то же самое делает Вася. Вася хочет походить так, чтобы после его хода отсалось n конфет (вне зависимости от хода Пети). При каких n Васе удастся осуществить задуманное?

Если n=94, то Вася сможет осуществить задуманное: если Петя возьмёт одну конфету, то Вася возьмёт 5, на ход Пети 2 он ответит ходом 4, на ход 3 - ходом 3, на ход 4 - ходом 2, на ход 5 - ходом 1.

При других n у Васи ничего не получится. Если $n\geq 95$, то Петя сможет съесть 5 конфет (Вася не сможет сделать ход), а если $n\leq 93$, то Васе нечего будет ответить, если Петя съест 1 конфету.

На столе - куча из 100 конфет. Сперва Петя берёт и ест от 1 до 5 конфет (на своё усмотрение). Затем Вася съедает от 1 до 5 конфет (тоже на своё усмотрение). Петя хочет, чтобы после хода Васи в куче было любое количество конфет, но не 93. Сколько конфет нужно съесть Пете? Перечислите все варианты.

Если Петя съест 2 конфеты, то Вася может съесть 5. Если Петя съест 3 конфеты, то Вася может съесть 4. Если Петя съест 4 конфеты, то Вася съест 3. На ход Пети 5 конфет Вася может съесть 2. А вот если Петя съест одну конфету, то Васе будет нечем отвечать: ему нужно съесть 6 конфет, но такого хода нет.

Чёрный конь стоит на клетке В1, а на клетке В5 стоит белый король. Петя должен походить конём, но так, чтобы король не оказался под шахом. На какую клетку нужно походить Пете?

Есть три варианта хода Пети: A3, C3 и D2. Первые два приводят к тому, что король оказывается под шахом.

Конь стоит на клетке С2. Сколько ходов есть у коня?

Он может походить на A1, A3, B4, D4, E3, E1.