Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух ферзей – белого и чёрного, так чтобы они не били друг друга?

Рассмотрим несколько случаев.
Пусть белый ферзь стоит на краю доски (на одной из 28 клеток). Тогда он бьёт 21 клетку (7 по горизонтали, 7 по вертикали и 7 по диагонали или по двум диагоналям), и ещё на одной стоит. Итого 22 клетки.

А значит, чёрного ферзя можно поставить 64 - 22 = 42 способами – на любую из оставшихся свободных непобитых клеток. В этом случае, пару не бьющих ферзей, где белый стоит в одной из крайних клеток доски, можно выбрать $28\cdot42$ способами.

Пусть теперь белый ферзь стоит на следующей каёмке, состоящей из 20 клеток (т.е. его с краем доски разделяет одна клетка). Тогда он бьёт 23 клетки, на одной стоит, и чёрного ферзя можно поставить 64 - 24 = 40 способами.

Аналогично, если белый ферзь стоит на следующей каёмке (12 клеток), то чёрного можно поставить 38 способами.

Наконец, если белый ферзь стоит на одной из четырёх центральных клеток, то чёрного ферзя поставить можно 36 способами.

Итого на шахматной доске 8 на 8 пару не бьющих друг друга ферзей разных цветов можно поставить: $28\cdot42+20\cdot40+12\cdot38+4\cdot36$.

Сколькими способами можно поставить на доску двух ферзей - белого и чёрного, так чтобы они не били друг друга, а белый ферзь стоял на четвёртой горизонтали?

Рассмотрим несколько случаев.

Если белого ферзя поставить на клетку A4 или на H4, то он будет бить 21 клетку (помимо той, на которой стоит сам). А значит, чёрного ферзя можно поставить 64-21-1=42 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 42=84$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке B4 или G4, то он бьёи ещё 23 клетки, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-23-1=40 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 40=80$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке C4 или F4, то он бьёи ещё 25 клеток, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-25-1=38 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 38=76$ способами.

Если белый фкрзь стоит на клетке D4 или E4, то он бьёи ещё 27 клеток, а тогда чёрного ферзя можно поставить 64-28-1=36 способами. В этом случае двух ферзей можно поставить $2\cdot 36=72$ способами.

Эти случаи образуют непересекающиеся множества, а нам необходимо сосчитать, сколько элементов в их объединении. Для получения итогового ответа нужно сложить посчитанные количества способов: 84+80+76+72=312 способов.

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске двух ферзей - белого и чёрного, - так, чтобы они не били друг друга, а белый ферзь стоял на одной из крайних горизонталей (т.е. на первой или на восьмой)?

Белого ферзя можем поставить 16 способами. Если белый ферзь стоит на первой или на восьмой горизонтали, то он бьёт ещё 21 клетку - семь по горизонтали, семь по вертикали и ещё семь по диагонали. Значит, если белый ферзь стоит на первой или на восьмой горизонтали, то чёрного ферзя мы можем поставить 64-21-1=42 способами (не можем поставить туда, где стоит белый ферзь, и не можем поставить на клетку, которую он бьёт). Итого ответ: $16\cdot 42=672$ способа.

Теперь у Игоря уже 6 тетрадок, 5 блокнотов, 4 записные книжки, 3 ручки. Сколькими способами Игорь может выбрать также два предмета с разными названиями?

Посчитаем количество пар наименований предметов. Каждому из четырёх наименований в пару можно выбрать одно из трёх оставшихся наименований. Получается $4\cdot3=12$ пар. Но каждая такая пара посчитана дважды.

Например, пара *тетрадка и ручка* не отличается от пары *ручка и тетрадка*.

Значит, разных пар наименований в 2 раза меньше, чем 12. То есть $(4\cdot 3) : 2 = 6$.

Теперь перечислим их и для каждого посчитаем количество способов выбрать пару предметов с разными названиями:

А) (тетрадка, блокнот): $6\cdot 5=30$;

Б) (тетрадка, записная книжка): $6\cdot 4=24$;

В) (тетрадка, ручка): $6\cdot 3=18$;

Г) (блокнот, записная книжка): $5\cdot 4=20$;

Д) (блокнот, ручка): $5\cdot 3=15$;

Е) (записная книжка, ручка): $4\cdot 3=12$.

Можно перечислить все их по порядку  – сначала 30 вариантов (А), а затем 24 варианта (Б) и так далее.

Поэтому эти варианты нужно сложить, получается 30+24+18+20+15+12=119 способов.

У Игоря 10 тетрадок, 8 блокнотов и 4 записные книжки. Сколькими способами Игорь может выбрать два предмета с разными названиями?

Выбрать тетрадку и блокнот у Игоря $10\cdot 8=80$ вариантов. Выбрать тетрадку и записную книжку - $10\cdot 4=40$ вариантов. Выбрать записную книжку и блокнот - $4\cdot 8=32$ варианта. Эти способы нужно сложить, получается 152 вариантов.

У хозяйки Маши есть блюдца пяти цветов, чашки шести цветов, чайные ложечки трёх типов, стаканы четырёх сортов и подстаканники трёх видов. В набор входит или блюдце, чашка и ложка, или подстаканник, стакан и ложка. Сколькими способами Маша сможет составить набор?

Составить набор из блюдца, чашки и ложки - $5\cdot 6\cdot 3=90$ вариантов. Составить набор из стакана, подстаканника и ложки - $4\cdot 3\cdot 3=36$ вариантов. Эти варианты нужно сложить, получается 126 способов.

У хозяйки Маши есть блюдца пяти цветов, чашки шести цветов, чайные ложечки трёх типов, стаканы четырёх сортов и подстаканники трёх видов. В набор входит

блюдце, чашка и ложка,

*или*

подстаканник, стакан и ложка.

Сколькими способами Маша сможет составить набор?

У хозяйки Маши есть блюдца пяти цветов, чашки шести цветов и чайные ложечки трёх видов. Сколькими способами Маша может составить чайный набор из блюдца, чашки и ложечки?

На каждый из 5 способа выбора блюдец есть по 6 способов выбора чашки, т.е. выбрать *блюдце + чашку* всего 30 способов. На каждый из них есть три способа выбора ложки, т.е. эти числа нужно перемножить.

Для начала можно рассмотреть 2 вида предметов.

В 5А классе 15 мальчиков и 12 девочек, а в 5Б классе – 14 мальчиков и 15 девочек. Из каждого класса нужно выбрать по одному человеку так, чтобы выбранные ученики были *одного* пола. Сколькими способами это можно сделать?

Можно выбрать или двух мальчиков, или двух девочек. Двух мальчиков можно выбрать $15\cdot 14=210$ вариантами. Двух девочек - $12\cdot 15=180$ вариантами. Эти варианты нужно сложить.

В 5А классе 15 мальчиков и 12 девочек, а в 5Б классе – 14 мальчиков и 15 девочек. Из каждого класса нужно выбрать по одному человеку так, чтобы выбранные ученики были *разного* пола. Сколькими способами это можно сделать?

Выбрать мальчика из 5А класса и девочку из 5Б класса есть $15\cdot 15=225$ вариантов. Выбрать девочку из 5А класса и мальчика из 5Б класса есть $12\cdot 14=168$ вариантов. Эти варианты (225 и 168) нужно сложить, потому что любой выбор пары в задаче - это выбор ровно одного из способов

"мальчик из 5А + девочка из 5Б" *или* "девочка из 5А + мальчик из 5Б".

Обсудите подсказки, убедившись в понимании того, все способы снова разбиваются на 2 типа.

В 5А классе 15 мальчиков и 12 девочек, а в 5Б классе – 14 мальчиков и 15 девочек. Из каждого класса нужно выбрать по одному мальчику и по одной девочке. Сколькими способами можно это сделать?

Из 5 А мальчика можно выбрать 15 способами, а девочку - 12 способами. Эти способы нужно перемножить, т.к. на каждый из 15 способов выбрать мальчика есть 12 способов выбрать девочку – итого 180 способов. Аналогично, выбрать мальчика и девочку из 5Б класса есть $14\cdot 15=210$ способов. Для получения окончательного ответа нужно перемножить 180 и 210, потому что для каждой выбранной пары в 5А классе можно выбрать любую пару из 5Б класса.

Не стоит пугаться вычислений в уме, ведь есть приёмы рациональных вычислений.

$15\cdot 12 = 3\cdot 5\cdot 12 = 3\cdot 60=180.$

Обсудите подсказки, убедившись в понимании того, все способы рабиваются на 2 типа.

Если изменить одно слово в условии так:

"Из одного класса нужно выбрать по одному мальчику и по одной девочке..."

то вместо произведения в последнем действии будет сумма.

Обсудите эти две задачи вместе и их отличие.

В 5А классе 27 детей, а в 5Б – 29. Сколькими способами можно выбрать двух детей – одного из 5А, другого из 5Б?

Человека из 5А класса можно выбрать 27 способами, человека из 5Б – 29 способами. Эти количества необходимо перемножить, т.к. на каждый способ выбрать кого-то из 5А есть по 29 способов выбрать ему в пару кого-то из 5Б.

Если уменьшить количество детей в классах до трёх и пяти, то можно рассмотреть дерево вариантов. Сначала три ветви, а затем от каждой из них по пять.

Можно обсудить, что каждый путь вдоль этих ветвей – это выбор одного школьника из одного класса и одного школьника из второго.

Ещё один способ провести подсчет – это зарисовать варианты в виде таблицы, где строчки соответствуют детям из одного класса, а столбцы – детям из другого класса.

Тогда каждый ячейка на пересечении строки столбца соответствует паре соответствующих детей.

Осталось заметить, чему равна площадь прямоугольника.

В 5А классе 27 человек, а в 5Б – 29 человек. Сколькими способами можно выбрать одного человека из этих классов?

Способ 1

Человек, которого мы выберем, может быть любым учеником 5А или 5Б класса. Всего в этих классах учится 27+29=56 человек. Выбрать можно любого из них.

Способ 2

Из 5А класса мы можем выбрать человека 27 способами, из 5Б – 29 способами. Эти способы нужно сложить, потому что все эти способы различны, и каждый из всех этих учеников может быть выбран независимо от другого.

Обратите внимание на подсказку.

При обсуждении задачи важно заметить, что каждый школьник может учиться лишь в одном из классов.